昨天，有關試證黎曼猜想的新研究又一次引爆了數(shù)學圈。

MIT 數(shù)學教授 Larry Guth 和牛津大學數(shù)學研究所教授、2022 菲爾茲獎得主 James Maynard 撰寫論文《New large value estimates for Dirichlet polynomials》，首次對數(shù)學家 Albert Ingham 在 1940 年左右關于黎曼 ζ 函數(shù)零點（以及更廣泛地控制各種 Dirichlet 級數(shù)的大值）的經(jīng)典界限做出了實質(zhì)性改進。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.20552

對于 Guth 和 Maynard 的新突破，知名華裔數(shù)學家陶哲軒評價道：「他們在研究黎曼猜想方面取得了重要進展，盡管離解決這一歷史悠久的數(shù)學問題還有很長的路要走 ?！?/span>

今天，兩位論文作者 Larry Guth 和 James Maynard 分別做了主題為《狄利克雷多項式大值的新界限，第一部分》以及《狄利克雷多項式大值的新界限，第二部分》的講座。

狄利克雷多項式界限在與素數(shù)分布相關的幾個問題中發(fā)揮重要作用，它們可以用來限制黎曼 zeta 函數(shù)在垂直條帶中的零點數(shù)量，這與短間隔內(nèi)的素數(shù)分布有關。狄利克雷多項式可以表示為：

主要問題在于 D (t) 超水平集的大小。作者進行歸一化，使得系數(shù)范數(shù)最多為 1，然后研究超水平集 | D (t)| > N^\sigma，其中 sigma 指數(shù)介于 1/2 和 1 之間。

其中對于較大的 sigma 值，數(shù)學家 Montgomery 證明了該超水平集具有非常強的界限。但對于 sigma \le 3/4，最知名的界限來自非常簡單的正交性論證（而且這些界限似乎并不尖銳）。作者將已知的 sigma 界限改進到接近 3/4，相關工作正在進行中。

James Maynard 講座介紹

講座一開始，James Maynard 引用了 Freeman Dyson 的著名比喻，將數(shù)學家分為鳥和青蛙。鳥喜歡從高處俯瞰全局，思考宏觀的數(shù)學結(jié)構(gòu)；青蛙則喜歡深入具體的細節(jié)，解決具體的問題。Maynard 自認是一只青蛙，更注重細節(jié)問題的解決。

在演講中，Maynard 主要介紹了他和 Larry 共同研究成果，特別是關于 Dirichlet 多項式的大值問題。這些研究在解析數(shù)論中具有重要意義。

Maynard 希望通過這次演講，更好的展示他們的研究結(jié)果、這些結(jié)果如何融入解析數(shù)論的整體背景，以及一些關鍵的證明思路。

為了將晦澀難懂的數(shù)學問題解釋的更加清楚，Maynard 采用板書的形式進行講解，并寫下了滿屏的推導公式：

整場演講長達 1 小時 12 分，內(nèi)容輸出非常密集。著名數(shù)學家陶哲軒簡單明了的概括了這次研究的新進展， 解釋了從黎曼猜想到當前最新進展的邏輯推導鏈條，展示了每個假設和估計之間的關系及其在解析數(shù)論中的重要性。 

James Maynard 完整視頻參見如下：

Larry Guth 講座介紹

Larry Guth 表示， James Maynard 的第一部分講座介紹了狄利克雷多項式的問題、工作以及關鍵思想。他此次講座將進一步剖析證明過程，包括解釋問題的背景、證明的細節(jié)。

他首先描述了問題的設置，即分析狄利克雷多項式大值的新界限，狄利克雷多項式范數(shù)在特定集合上的大小，并討論了已有的簡單估計方法（如均值定理）及它們的局限性。

然后他介紹了自己工作提出的新定理，提出在某些參數(shù)范圍內(nèi)對原有估計進行了改進。此外他還展示了近似反例的存在，證明了簡單估計方法的局限性，并討論了特定情況下可能存在的精確轉(zhuǎn)變點。

接下來，他討論了在處理狄利克雷多項式問題時所使用的工具，并指出這些工具無法區(qū)分近似反例和原始問題的設定。他對比了兩種不同的頻率設置，探討了每個設置的特點。通過分析低能量和高能量兩種情況，他展示了如何使用矩陣的奇異值和牛津大學著名數(shù)學家 Heath-Brown 的工作來獲得更好的估計結(jié)果。

其中在低能量情況下，他強調(diào)了傅里葉變換的使用和能量的定義；在高能量情況下，他則利用加法結(jié)構(gòu)來改進估計。最后，他總結(jié)了這些方法的有效性。

Larry Guth 完整視頻參見如下：

輔助工具：ChatGPT