為什么 0.1 + 0.2 不等于 0.3？這篇文章，我們將通過這個示例來分析浮點(diǎn)數(shù)在計算機(jī)中是如何存儲的？

一、定點(diǎn)數(shù)

1. 定義

定點(diǎn)數(shù)，比較簡單，從字面上理解為小數(shù)點(diǎn)固定的數(shù)。比如，100，3.14，200.08等等都可以看成是定點(diǎn)數(shù)。

通常意義上，定點(diǎn)數(shù)表示整數(shù)或小數(shù)，可以分為以下三種情況：

• 純整數(shù)：例如，400，小數(shù)點(diǎn)在最后一位，可以忽略
• 純小數(shù)：例如，0.68，小數(shù)點(diǎn)固定在最高位
• 整數(shù)+小數(shù)：例如，3.14、9.18，小數(shù)點(diǎn)在指定某個位置

接下來，我們一起看看定點(diǎn)數(shù)的十進(jìn)制和二進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換。

2. 十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制

將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，通過不斷地除以 2，直到商為 0。步驟：

• 將十進(jìn)制數(shù)除以2，記錄商和余數(shù)
• 將商再次除以2，記錄新的商和余數(shù)
• 重復(fù)這個過程，直到商為 0為止
• 從下往上讀取所有的余數(shù)，就得到了轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制數(shù)

比如：將十進(jìn)制的 38轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制：

38 / 2 = 19 余 0
19 / 2 = 9  余 1
9  / 2 = 4  余 1
4  / 2 = 2  余 0
2  / 2 = 1  余 0
1  / 2 = 0  余 1

所以，(38)?? 的二進(jìn)制是 (100110)?

3. 二進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)十進(jìn)制

將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，根據(jù)權(quán)值展開法，將每一位上的數(shù)字與其對應(yīng)的權(quán)值相乘，然后將所有結(jié)果相加。權(quán)值是 2的冪，從右向左依次增加。

例如，將二進(jìn)制數(shù) 100110轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制：

1*2? + 0*2? + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*2?
= 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0
= 38

所以，(100110)? 的十進(jìn)制是 (38)??

4. 十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制分兩部分：整數(shù)部分轉(zhuǎn)換上面已經(jīng)講解了，小數(shù)部分采用“乘2取整，從上到下順序排列”。

例如，十進(jìn)制小數(shù) 10.75 轉(zhuǎn)為二進(jìn)制小數(shù)：

# 整數(shù)部分
10 / 2 = 5 余 0
5  / 2 = 2 余 1
2  / 2 = 1 余 0
1  / 2 = 0 余 1

# 小數(shù)部分
0.75 * 2 = 1.5 取整數(shù)部分 1
0.5  * 2 = 1.0 取整數(shù)部分 1

所以，(10.75)?? 的二進(jìn)制是 (1010.11)?

5 二進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)十進(jìn)制

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制分兩部分，整數(shù)部分轉(zhuǎn)為二進(jìn)制上面已經(jīng)講解了，小數(shù)部分采用“乘2取整，從上到下順序排列”。

例如，二進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)十進(jìn)制小數(shù)：

# 整數(shù)部分
1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*2?
= 8 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 = 10

# 小數(shù)部分
1*2?1 + 1*2?2
= 0.5 + 0.25
= 0.75

# 整數(shù)部分 + 小數(shù)部分
10 + 0.75 = 10.7

所以，(1010.11)? 的十進(jìn)制是 (10.75)??

6. 定點(diǎn)數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)

(1) 優(yōu)點(diǎn)

定點(diǎn)數(shù)的精度是固定的，可以根據(jù)需求進(jìn)行靈活調(diào)整，這使得它們在需要固定精度的應(yīng)用中非常有用。

(2) 缺點(diǎn)

定點(diǎn)數(shù)的精度是固定的，這意味著在處理大范圍或者需要高精度的數(shù)據(jù)時，可能會丟失精度或者溢出。

比如，以 1個字節(jié)（8 bit）為例，假如約定前 4位表示整數(shù)部分，后 4位表示小數(shù)部分，因此，可以表達(dá)的最大數(shù)是：(1111.1111)?=(15.9375)??。

如果想要表示更大范圍的值，怎么辦？

• 增加 bit：比如，使用 2個字節(jié)（16 bit）、4個字節(jié)（32bit），這樣整數(shù)部分和小數(shù)部分都增加了，表示的數(shù)字范圍也變大了。
• 小數(shù)點(diǎn)右移：小數(shù)點(diǎn)右移，整數(shù)范圍就變大了，因此整個數(shù)字范圍就變大了，但是小數(shù)部分的精度就會越來越低。

因此，對于表示大范圍或者高精度的數(shù)，定點(diǎn)數(shù)存在其局限性，這時候“浮點(diǎn)數(shù)”就派上用場了。

二、IEEE 754

在講解浮點(diǎn)數(shù)之前，我們需要先了解一個很重要的標(biāo)準(zhǔn)：IEEE 754，它是 20世紀(jì)80年代以來最廣泛使用的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算標(biāo)準(zhǔn)，為許多 CPU、浮點(diǎn)運(yùn)算器和編程語言（比如 Java）所采用。

這個標(biāo)準(zhǔn)定義了以下規(guī)范：

• 表示浮點(diǎn)數(shù)的格式（包括負(fù)零-0）與反常值（Denormal number）；
• 一些特殊數(shù)值（無窮 Inf與非數(shù)值 NaN），以及這些數(shù)值的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算；
• 指明了四種數(shù)值修約規(guī)則和五種例外狀況（包括例外發(fā)生的時機(jī)與處理方式）；

另外，在 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)推出之前，各個計算機(jī)公司對于浮點(diǎn)數(shù)的表示沒有一個業(yè)界通用的標(biāo)準(zhǔn)，這給數(shù)據(jù)交換、計算機(jī)協(xié)同工作造成了極大不便，直到 1985年，IEEE 組織推出了 IEEE 754浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)，才結(jié)束了這混亂的局面。

三、浮點(diǎn)數(shù)

1. 什么是浮點(diǎn)數(shù)？

浮點(diǎn)數(shù)，是相對定點(diǎn)數(shù)而言的，從字面上可以解釋為：小數(shù)點(diǎn)在浮動的數(shù)。在計算機(jī)科學(xué)中，浮點(diǎn)數(shù)是一種用于表示帶有小數(shù)點(diǎn)的實(shí)數(shù)的數(shù)據(jù)類型，通常采用了科學(xué)計數(shù)法表示。

如下例子，十進(jìn)制小數(shù) 300.14，用科學(xué)計數(shù)法表示，可以有多種方式，整體看上去，小數(shù)點(diǎn)好像在浮動。

300.14 = 30.014 × 101
300.14 = 3.0014 × 102
300.14 = 0.31004 × 103

在 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中，浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中以二進(jìn)制形式存儲，分為四個部分：符號位、基數(shù)、指數(shù)部分和尾數(shù)部分。

• 符號位（Sign bit）：用于表示數(shù)值的正負(fù)。0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)。
• 指數(shù)部分（Exponent）：用于表示數(shù)值的大小范圍。該部分存儲的是一個無符號整數(shù)，通常采用偏移表示，即用實(shí)際指數(shù)加上一個固定偏移值。
• 基數(shù)（Base）：也稱為進(jìn)制或底數(shù)，常見的基數(shù)包括十進(jìn)制（基數(shù)為10）、二進(jìn)制（基數(shù)為2）、八進(jìn)制（基數(shù)為8）、十六進(jìn)制（基數(shù)為16）等。
• 尾數(shù)部分（Mantissa/Significand）：用于表示數(shù)值的精度和小數(shù)部分。在IEEE 754中，尾數(shù)總是處于[1,2)之間的一個小數(shù)，這樣可以省略掉小數(shù)點(diǎn)前面的 1，從而節(jié)省了一個 bit。注意：significand 和 mantissa 都是用來指代浮點(diǎn)數(shù)中的尾數(shù)部分，只不過 mantissa是早期計算機(jī)的叫法。兩個術(shù)語可以互換，用來表示浮點(diǎn)數(shù)中的尾數(shù)部分。

下圖以 300.14為例展示了一個浮點(diǎn)數(shù)的構(gòu)成：

2. 浮點(diǎn)數(shù)的精度

在IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定了 4種主要的浮點(diǎn)數(shù)類型：單精度浮點(diǎn)數(shù)（float）、雙精度浮點(diǎn)數(shù)（double）、延伸單精確度以及延伸雙精確度。

(1) 單精度浮點(diǎn)數(shù)（float）

單精度浮點(diǎn)數(shù)占用 32位（4個字節(jié)），其中，符號占 1位，指數(shù)部分占 8位，尾數(shù)部分占 23位。指數(shù)部分可以表示的范圍是 0～255，因?yàn)榇嬖谄屏?，因此指?shù)的實(shí)際范圍是從-126～+127，即 2?12?～212?，轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制，范圍大約為 ±3.4x10?3? 到 ±3.4x103?之間。

(2) 雙精度浮點(diǎn)數(shù)（double）

雙精度浮點(diǎn)數(shù)占用 64位（8個字節(jié)），其中，符號占 1位，指數(shù)部分占 11位，尾數(shù)部分占 52位。指數(shù)部分可以表示的范圍是 0～2047，因?yàn)榇嬖谄屏浚虼酥笖?shù)的實(shí)際范圍是從-1022～+1023，即 2?1?22～ 21?23，轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制，范圍大約為 ±1.7x10?3?? 到 ±1.7x103??之間。

(3) 延伸單精確度

因?yàn)椴怀Ｓ?，所以本文不進(jìn)行講解。

(4) 延伸雙精確度

因?yàn)椴怀Ｓ?，所以本文不進(jìn)行講解。

關(guān)于單精度浮點(diǎn)數(shù)和雙精度浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制表示如下圖： 

在了解完定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)的一些基本概念之后，接下來講解浮點(diǎn)數(shù)使用IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)在內(nèi)存是如何使用二進(jìn)制存儲的， 這里是IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的精華部分，也是比較難理解的部分，我會通過實(shí)際的例子結(jié)合圖形進(jìn)行分析。

3. 浮點(diǎn)數(shù)的IEEE754轉(zhuǎn)換

(1)  十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制

這里以十進(jìn)制轉(zhuǎn) IEEE754單精度浮點(diǎn)數(shù)并且無精度丟失為例，核心流程包含 5個步驟：

① 確認(rèn) Sign符號位

比如，19.59375的符號為 0（正數(shù)），-1.1的符號為 1（負(fù)數(shù)），將結(jié)果值（0/1）填充到二進(jìn)制的 Sign bit區(qū)域。

② 將十進(jìn)制轉(zhuǎn)成純二進(jìn)制

這個步驟，只是純粹地將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制。

• 對于整數(shù)部分，通過不斷地除以 2，直到商為 0；
• 對于小數(shù)部分，采用逐步乘 2取整，直到小數(shù)部分為 0或達(dá)到尾數(shù)所需的精度；

需要注意，對于小數(shù)部分處理結(jié)束的條件有 2個：小數(shù)部分為0 或 達(dá)到尾數(shù)所需的精度。只要滿足一個就OK，這里也是為什么小數(shù)會丟精度的關(guān)鍵所在，在下面的例子會進(jìn)行講解。

對于沒有精度丟失的轉(zhuǎn)換，結(jié)束的條件是：小數(shù)部分為 0。

比如，0.25轉(zhuǎn)成二進(jìn)制

0.25 x 2 = 0.5  0
 0.5 x 2 = 1.0  1 小數(shù)部分為0，結(jié)束

③ 標(biāo)準(zhǔn)化以確定尾數(shù)和無偏移指數(shù)

根據(jù) IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)，需要將二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)放在最左邊的 1 之后，比如，100.101需要左移 2位，變成 1.00101x22，無偏移指數(shù)是 2；0.0011需要右移 3位，變成 1.1x2?3，無偏移指數(shù)是 -3。

這個步驟其實(shí)就是 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的一個硬性規(guī)定，解決了上面提到的浮點(diǎn)數(shù)漂浮不定的問題。

④ 確認(rèn)偏移指數(shù)

偏移指數(shù)，即用無偏移指數(shù)（步驟3 產(chǎn)生的結(jié)果）加上固定的偏移值127(2?-1=127)，再轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制。

假如，無偏移指數(shù)是 4，那么，偏移指數(shù)就等于4+127=131，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制就是10000011，然后，將二進(jìn)制結(jié)果值10000011填充到 Exponent指數(shù)區(qū)域。

⑤ 移除尾數(shù)的前導(dǎo) 1

在步驟3中，需要將二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)放在最左邊的 1 之后，因此，每個小數(shù)點(diǎn)前面的值都是固定的 1（也叫做前導(dǎo) 1），在 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中，會將這個前導(dǎo) 1移除，從而節(jié)省了 1個bit，再將結(jié)果值填充到二進(jìn)制的 Significand尾數(shù)區(qū)域，不足部分填 0。

比如，1.001110011 移除小數(shù)點(diǎn)前固定的 1 變成了001110011，然后將結(jié)果值001110011填充到 Significand尾數(shù)區(qū)域。

為了更好的解釋上面 5個步驟，這里以十進(jìn)制19.59375轉(zhuǎn)換成IEEE 754二進(jìn)制為例進(jìn)行講解，整個過程如下圖：

(2) 十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制

這里以十進(jìn)制轉(zhuǎn) IEEE754單精度浮點(diǎn)數(shù)并且有精度丟失為例，核心流程包含 6個步驟：

① 確認(rèn) Sign符號位

比如，19.59375的符號為 0（正數(shù)），-1.1的符號為 1（負(fù)數(shù)），將結(jié)果值（0/1）填充到二進(jìn)制的 Sign bit區(qū)域。

② 將十進(jìn)制轉(zhuǎn)成純二進(jìn)制

這個步驟，只是純粹地將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制。

• 對于整數(shù)部分，通過不斷地除以 2，直到商為 0；
• 對于小數(shù)部分，采用逐步乘 2取整，直到小數(shù)部分為 0或達(dá)到所需的精度；

需要注意，對于小數(shù)部分處理結(jié)束的條件有 2個：小數(shù)部分為0 或 達(dá)到尾數(shù)所需的精度。

對于有精度丟失的轉(zhuǎn)換，結(jié)束的條件是：達(dá)到所需的精度。

比如，0.3轉(zhuǎn)成二進(jìn)制

0.3 x 2 = 0.6  0
0.6 x 2 = 1.2  1
0.2 x 2 = 0.4  0
0.4 x 2 = 0.8  0
0.8 x 2 = 1.6  1
0.6 x 2 = 1.2  1 開始進(jìn)入循環(huán)，只能達(dá)到所需的精度后按需舍入結(jié)束
0.2 x 2 = 0.4  0

③ 標(biāo)準(zhǔn)化以確定尾數(shù)和無偏移指數(shù)

根據(jù) IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)，需要將二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)放在最左邊的 1 之后，比如，100.101需要左移 2位，變成 1.00101x22，無偏移指數(shù)是 2；0.0011需要右移 3位，變成 1.1x2?3，無偏移指數(shù)是 -3。

這個步驟其實(shí)就是 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的一個硬性規(guī)定，解決了上面提到的浮點(diǎn)數(shù)漂浮不定的問題。

④ 確認(rèn)偏移指數(shù)

偏移指數(shù)，即用無偏移指數(shù)（步驟3 產(chǎn)生的結(jié)果）加上固定的偏移值127(2?-1=127)，再轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制。

假如，無偏移指數(shù)是 4，那么，偏移指數(shù)就等于4+127=131，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制就是10000011，然后，將二進(jìn)制結(jié)果值10000011填充到 Exponent指數(shù)區(qū)域。

⑤ 移除尾數(shù)的前導(dǎo) 1

在步驟3中，需要將二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)放在最左邊的 1 之后，因此，每個小數(shù)點(diǎn)前面的值都是固定的 1（也叫做前導(dǎo) 1），在 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中，會將這個前導(dǎo) 1移除，從而節(jié)省了 1bit，再將結(jié)果值填充到二進(jìn)制的 Significand尾數(shù)區(qū)域，不足部分填0。

比如，1.001110011 移除小數(shù)點(diǎn)前固定的 1 變成了001110011，然后將結(jié)果值001110011填充到 Significand尾數(shù)區(qū)域。

⑥ 按需向上或者向下舍入

在步驟2中，小數(shù)部分轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的時候不是因?yàn)槌?2使得小數(shù)部分為 0結(jié)束，而是因?yàn)楫a(chǎn)生了循環(huán)，導(dǎo)致達(dá)到了尾數(shù)所需的精度（單精度 23bit，雙精度 52bit），對于超出的精度范圍，需要如何處理？

答案：按需向上或者向下舍入

為了更好的解釋上面 6個步驟，這里以十進(jìn)制-123.3轉(zhuǎn)換成 IEEE 754二進(jìn)制為例進(jìn)行講解，整體流程如下圖：

注意：截圖中步驟6黃色字體1001，是指超出尾數(shù) 23bit范圍的二進(jìn)制數(shù)，需要被舍入

通過上面兩個例子的分析，相信大家還是會有困惑：為什么是二進(jìn)制中存儲的是偏移指數(shù)而不是指針？為什么偏移指數(shù)是通過指數(shù)加上一個固定的偏移值？這個固定的偏移值是怎么計算的？為什么尾數(shù)需要把前導(dǎo) 1移除？IEEE 754 的舍入規(guī)則是什么？下面我們就一一解答。

(3) 二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制

為了幫助大家更好地理解 IEEE 754的轉(zhuǎn)換，這里還提供了 2個 IEEE 754單精度浮點(diǎn)數(shù)二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制的逆向例子，如下圖：

(4) 偏移指數(shù)

偏移指數(shù)，也叫指數(shù)偏移值（exponent bias），即浮點(diǎn)數(shù)表示法中指數(shù)域的編碼值，等于指數(shù)的實(shí)際值加上某個固定的偏移值，IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定該固定值偏移為2 ??1-1，其中 e為存儲指數(shù)的 bit長度，因此，單精度浮點(diǎn)數(shù)的固定偏移值是2??1-1=127，雙精度浮點(diǎn)數(shù)的固定偏移值是211?1-1=1023。

(5) 為什么需要偏移指數(shù)？

從 1.00101 x 22 和 1.1 x 2?3 可以看出來，指數(shù)有正負(fù)數(shù)的區(qū)分，即有符號的區(qū)分，因此，IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中的偏移指數(shù)主要解決兩個問題：

• 表示負(fù)指數(shù)：在使用二進(jìn)制表示浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)時，如果采用純粹的二進(jìn)制表示，那么需要額外的符號位來表示指數(shù)的正負(fù)。采用偏移指數(shù)的方式，可以將指數(shù)全部看作非負(fù)數(shù)，因?yàn)閷⑵屏刻砑拥街笖?shù)部分后，所有的指數(shù)都是正數(shù)，0則表示了最小的指數(shù)。
• 排序浮點(diǎn)數(shù)：使用偏移指數(shù)的方式可以更容易地對浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行排序。因此第 1點(diǎn)已經(jīng)把指數(shù)全部轉(zhuǎn)換成了無符號，所以，浮點(diǎn)數(shù)的比較直接變成了對二進(jìn)制的自然排序比較，不需要單獨(dú)處理符號位和指數(shù)部分的符號。

(6) 固定值偏移值如何計算？

① 單精度浮點(diǎn)數(shù)

對于單精度浮點(diǎn)數(shù)，它的指數(shù)域是 8個bit，表示的有符號范圍是-127～128(-2?-1 ~ 2?)，如何讓這個范圍 >=0 ？

答案：加上 127。所以，IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)把 127設(shè)定為單精度浮點(diǎn)數(shù)的固定偏移值。

② 雙精度浮點(diǎn)數(shù)

同理，對于雙精度浮點(diǎn)數(shù)，它的指數(shù)域是 11個bit，表示的有符號范圍是-1023～1024(-21?-1 ~ 21?)，如何讓這個范圍 >=0 ？

答案：加上 1023。所以，IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)把 1023設(shè)定為雙精度浮點(diǎn)數(shù)的固定偏移值。

具體信息如下圖：

(7) 為什么要移除尾數(shù)的前導(dǎo) 1？

在講解浮點(diǎn)數(shù)構(gòu)成時提過，浮點(diǎn)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)是浮動的，因此，IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)定義了一套固定的格式：在二進(jìn)制數(shù)中，通過移位，將小數(shù)點(diǎn)前面的值固定為 1，IEEE754 稱這種形式的浮點(diǎn)數(shù)為規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)。

因此，對于規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)，既然尾數(shù)的前導(dǎo)永遠(yuǎn)是 1，那干脆不存儲，尾數(shù)其實(shí)比實(shí)際的多 1位，也就是說單精度的是 24位，雙精度是 52位。

(8) IEEE 754 的舍入規(guī)則 

關(guān)于舍入，IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)提供了 4種方法：

① 舍入到最接近

這是 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的默認(rèn)方式，將結(jié)果舍入為最接近且可以表示的值，但是當(dāng)存在兩個數(shù)一樣接近的時候，則取其中的偶數(shù)（在二進(jìn)制中是以0結(jié)尾的）。

取偶數(shù)最關(guān)鍵的步驟是找到一個中間值，先確定要保留的有效數(shù)字，找到要保留的有效數(shù)字最低位的下一位。如果這位是進(jìn)制的一半，而且之后的位數(shù)都為 0，則這個值就是中間值。

這里以二進(jìn)制為例，有效位數(shù)保留到小數(shù)點(diǎn)后 2位：

• 10.00011，中間值為 10.00100，小于中間值，向下舍入為 10.00
• 10.00110，中間值為 10.00100，大于中間值，向上舍入為 10.01
• 10.11100，中間值為 10.11100，等于中間值，要保留的最低有效位 1 為奇數(shù)，向上舍入為 11.00
• 10.10100，中間值為 10.10100，等于中間值，要保留的最低有效位 0 為偶數(shù)，向下舍入為 10.10

因此，上述十進(jìn)制-123.3轉(zhuǎn)換成 IEEE 754二進(jìn)制例子的舍入方式，采用向上舍入，即最后一位 +1。

② 朝 +∞方向舍入

3個要點(diǎn)：

• 正數(shù)多余位不全為 0，進(jìn)位1
• 正數(shù)多余位全為 0，直接截尾
• 負(fù)數(shù)直接截尾

這里以二進(jìn)制為例，有效位數(shù)保留到小數(shù)點(diǎn)后 3位：

• 0.0011001，正數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)后 4位起，不全為0，則向上進(jìn)位（最后一位 +1），結(jié)果值為 1.010，
• 0.0010000，正數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)后 4位起，全為0，則直接截尾（從 4位起全部舍棄），結(jié)果值為 0.001
• -0.0011010，負(fù)數(shù)直接截尾（從 4位起全部舍棄），結(jié)果值為 -0.001

③ 朝 -∞方向舍入

3個要點(diǎn)：

• 正數(shù)直接截尾
• 負(fù)數(shù)多余位全為0，直接截尾
• 負(fù)數(shù)多余位不全為 0，進(jìn)位1

這里以二進(jìn)制為例，有效位數(shù)保留到小數(shù)點(diǎn)后 3位：

• 0.0011001，正數(shù)，則直接截尾（從 4位起全部舍棄），結(jié)果值為 0.001
• -0.001000，負(fù)數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)后 4位起全為 0，則直接截尾（從 4位起全部舍棄），結(jié)果值 -0.001
• -0.001101，負(fù)數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)后 4位起不全為 0，則向上進(jìn)位（最后一位 +1），結(jié)果值-0.010

④ 朝 0方向舍入

2個要點(diǎn)：

• 正數(shù)直接截尾
• 負(fù)數(shù)直接截尾

數(shù)學(xué)上有 4舍5入，計算機(jī)中 0舍1入，因此，朝 0方向舍入就是直接舍棄。

這里以二進(jìn)制為例，有效位數(shù)保留到小數(shù)點(diǎn)后 3位：

• 0.001100，正數(shù)，則直接截尾（從 4位起全部舍棄）棄，結(jié)果值 0.001
• -0.001100，負(fù)數(shù)，則直接截尾（從 4位起全部舍棄）棄，結(jié)果值 -0.001

四、非規(guī)范浮點(diǎn)數(shù)

上文提到了規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)，既然有規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)，是不是也存在非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)？非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)又是什么呢？

在 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)中，將“指數(shù)部分全是0，尾數(shù)部分非0”這樣的浮點(diǎn)數(shù)稱為非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)，一般用于表示 0或者無限接近 0的很小的數(shù)字。

另外，IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)還規(guī)定：非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)偏移值比規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)偏移值小 1。

例如，最小的規(guī)范化單精度浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)部分編碼值為1，指數(shù)的實(shí)際值為-126；而非規(guī)范化的單精度浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)域編碼值為0，對應(yīng)的指數(shù)實(shí)際值也是 -126 而不是-127。實(shí)際上非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)仍然是有效可以使用的，只是它們的絕對值已經(jīng)小于所有的規(guī)約浮點(diǎn)數(shù)的絕對值；即所有的非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)比規(guī)約浮點(diǎn)數(shù)更接近0。規(guī)約浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)大于等于1且小于2，而非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)小于1且大于0。

下圖展示了非規(guī)范化單精度浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制表示：

五、特殊值

另外，IEEE 754中還定義4個特殊值，如下表：

• 正負(fù)無窮大：指數(shù)全是 1，尾數(shù)全是 0，代表這個數(shù)是正負(fù)無窮大（±∞），正負(fù)取決于 S符號位。
• NaN：指數(shù)全是 1，尾數(shù)非 0，代表這不是一個數(shù)字（NaN，Not a Number）。
• 0：指數(shù)全是 0，尾數(shù)全是0，代表這個數(shù)是±0，正負(fù)取決于 S符號位。
• 很小的值：指數(shù)全是 0，尾數(shù)不全是0，代表這個數(shù)是一個很小的非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)。

六、浮點(diǎn)數(shù)的比較和運(yùn)算

有了 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)，浮點(diǎn)數(shù)的比較就很簡單，基本上可以按照符號位、指數(shù)域、尾數(shù)域的順序作字典比較。顯然，所有正數(shù)大于負(fù)數(shù)；正負(fù)號相同時，指數(shù)的二進(jìn)制表示法更大的其浮點(diǎn)數(shù)值更大。

浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)包含以下幾種:

• 加減乘除（Add、subtract、multiply、divide）。在加減運(yùn)算中負(fù)零與零相等：?0.0=0.0
• 平方根（Square root）：
• 浮點(diǎn)余數(shù)。返回值 x-(round(x/y)*y)。
• 近似到最近的整數(shù) ?? ?? ?? ?? ??(??)。如果恰好在兩個相鄰整數(shù)之間，則近似到偶數(shù)。
• 比較運(yùn)算. -Inf <負(fù)的規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)數(shù)<負(fù)的非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)< -0.0 = 0.0 <正的非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)<正的規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)< Inf；
• 特殊比較：-Inf = -Inf, Inf = Inf, NaN與任何浮點(diǎn)數(shù)（包括自身）的比較結(jié)果都為假，即 (NaN ≠ x) = false.

七、為什么 1.0-0.9 != 0.1?

先看 Java中的一個例子：

通過運(yùn)行結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：在 Java中，不管是單精度 float，還是雙精度 double，1.0 - 0.9 != 0.1，為什么？

從上面的講解，我們已經(jīng)知道浮點(diǎn)數(shù) IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)在內(nèi)存中的存儲方式，這里我們再簡單的分析1.0 - 0.9場景：

1.0 可以精確轉(zhuǎn)換成IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)二進(jìn)制為：0 01111111 00000000000000000000000

0.9 轉(zhuǎn)換成IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)二進(jìn)制為：

符號位：0
偏移指數(shù)：-1 + 127 = (126)?? = (0111 1110)?
尾數(shù)：
0.9 x 2 = 1.8  1
0.8 x 2 = 1.6  1
0.6 x 2 = 1.2  1
0.2 x 2 = 0.4  0
0.4 x 2 = 0.8  0
0.8 x 2 = 1.6  1 開始進(jìn)入循環(huán)，只能達(dá)到所需的精度后按需舍入結(jié)束
0.6 x 2 = 1.2  1

在0.9 轉(zhuǎn)換成 IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的二進(jìn)制時，出現(xiàn)了循環(huán)，這樣的話，不管是單精度還是雙精度，0.9轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制之后都有精度損失，所以，對于 float 或者 double浮點(diǎn)數(shù) 0.9，轉(zhuǎn)換后其真實(shí)值已經(jīng)不是 0.9，因此，1.0 - 0.9 != 0.1。

當(dāng)然，除了這個例子，還有很多經(jīng)典的例子，比如 w s m 為什么等于 0.30000000000000004?

八、總結(jié)

本文講解了定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)，重點(diǎn)分析了浮點(diǎn)數(shù)以及IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)下浮點(diǎn)數(shù)是如何存儲的。

• 浮點(diǎn)數(shù)一般用科學(xué)計數(shù)法表示
• IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的浮點(diǎn)數(shù)二進(jìn)制實(shí)際包含：符號位，偏移指數(shù)，尾數(shù) 3部分。
• 十進(jìn)制小數(shù)在轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制時，如果可以精確轉(zhuǎn)換，則不存在精度丟失。
• 十進(jìn)制小數(shù)在轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制時，如果無法精確轉(zhuǎn)換（存在循環(huán)或者超出尾數(shù)的范圍），則存在精度丟失的問題。
• IEEE 754舍入規(guī)則有 4種方法：舍入到最接近、朝 +∞方向舍入、朝 -∞方向舍入以及朝 0方向舍入。