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 應(yīng)用場(chǎng)景-背包問(wèn)題

背包問(wèn)題：有一個(gè)背包，容量為4磅，現(xiàn)有如下物品：

1. 要求達(dá)到的目標(biāo)為裝入的背包的總價(jià)值最大，并且重量不超出
2. 要求裝入的物品不能重復(fù)

動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法介紹

1. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃(Dynamic Programming)算法的核心思想是：將大問(wèn)題劃分為小問(wèn)題進(jìn)行解決，從而一步步獲取最優(yōu)解的處理算法。
2. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法與分治算法類似，其基本思想也是將待求解問(wèn)題分解成若干個(gè)子問(wèn)題，先求解子問(wèn)題，然后從這些子問(wèn)題的解得到原問(wèn)題的解。
3. 與分治算法不同的是，適用于動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解的問(wèn)題，經(jīng)分解得到子問(wèn)題往往不是相互獨(dú)立的。(即下一個(gè)子階段的求解是建立在上一個(gè)子階段的解的基礎(chǔ)上，進(jìn)行進(jìn)一步的求解)。
4. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以通過(guò)填表的方式來(lái)逐步推進(jìn)，得到最優(yōu)解。

背包問(wèn)題分析

背包問(wèn)題主要是指一個(gè)給定容量的背包、若干具有一定價(jià)值和重量的物品，如何選取物品放入背包是物品的價(jià)值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每種物品都有無(wú)限件可用)。

這里的問(wèn)題屬于01背包，即每個(gè)物品最多放一個(gè)，而無(wú)限背包可以轉(zhuǎn)化為01背包。

思路分析

算法的主要思想，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來(lái)解決。每次遍歷到的第i個(gè)物品，根據(jù)w[i]和v[i]來(lái)確定是否需要將該物品放入背包。即對(duì)于給定的n個(gè)物品，設(shè)v[i]、w[i]分別為第i個(gè)物品的價(jià)值和重量，C為背包的容量。再令v[i][j]表示在前 i 個(gè)物品中能夠裝入容量為 j 的背包的最大值。則有下面的結(jié)果：

1. v[i][0] = v[0][j] = 0;//表示填入表第一行和第一列是0
2. 當(dāng)w[i]>j時(shí)：v[i][j]=v[i-1][j];//當(dāng)準(zhǔn)備加入的新增的商品的容量大于當(dāng)前背包的容量時(shí)，就直接使用上一個(gè)單元格的裝入策略。
3. 當(dāng)j>=w[i]時(shí)：v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i]+v[i-1][j-w[i]]};//當(dāng)準(zhǔn)備加入的新增的商品的容量小于等于當(dāng)前背包的容量，裝入的方式：v[i-1][j]：就是上一個(gè)單元格的裝入的最大值v[i]：當(dāng)前商品的價(jià)值v[i-1][j-w[i]]：裝入i-1商品，到剩余空間[j-w[i]的最大值

填表的過(guò)程

代碼案例

package com.xie.algorithm; 
 
import java.util.Arrays; 
 
public class KnapsackProblem { 
    public static void main(String[] args) { 
        //物品的重量 
        int[] w = {1, 4, 3}; 
        //物品的價(jià)值 
        int[] val = {1500, 3000, 2000}; 
        //背包的容量 
        int m = 4; 
        //物品的個(gè)數(shù) 
        int n = val.length; 
 
        //為了記錄商品放入的情況，定義一個(gè)二維數(shù)組 
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1]; 
 
        //創(chuàng)建二維數(shù)組 
        //v[i][j]表示在前 i 個(gè)物品中能夠裝入容量為 j 的背包的最大值 
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1]; 
 
        //初始化第一行和第一列 
        //將第一列設(shè)置為0 
        for (int i = 0; i < v.length; i++) { 
            v[i][0] = 0; 
        } 
        //將第一行設(shè)置為0 
        for (int i = 0; i < v[0].length; i++) { 
            v[0][i] = 0; 
        } 
 
        //根據(jù)前面的公式來(lái)動(dòng)態(tài)規(guī)劃處理 
        //不處理第一行 
        for (int i = 1; i < v.length; i++) { 
            //不處理第一列 
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { 
                //公式 
                //因?yàn)槲覀兊某绦?nbsp;i  是從1開(kāi)始的，因此原來(lái)的公式中的w[i]修改成w[i-1] 
                if (w[i - 1] > j) { 
                    v[i][j] = v[i - 1][j]; 
                } else { 
                    //因?yàn)槲覀兊某绦?nbsp;i  是從1開(kāi)始的 
                    //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]); 
                    if (v[i - 1][j] > val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) { 
                        v[i][j] = v[i - 1][j]; 
                    } else { 
                        v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]; 
                        //把當(dāng)前的情況記錄到path 
                        path[i][j] = 1; 
                    } 
                } 
            } 
        } 
 
        for (int i = 0; i < v.length; i++) { 
            System.out.println(Arrays.toString(v[i])); 
        } 
 
        int i = path.length - 1; 
        int j = path[0].length - 1; 
        while (i > 0 && j > 0) { 
            if (path[i][j] == 1) { 
                System.out.printf("第%d個(gè)商品放入背包\n", i); 
                j -= w[i - 1]; 
            } 
            i--; 
        } 
    } 
 
    /** 
     * [0, 0, 0, 0, 0] 
     * [0, 1500, 1500, 1500, 1500] 
     * [0, 1500, 1500, 1500, 3000] 
     * [0, 1500, 1500, 2000, 3500] 
     * 第3個(gè)商品放入背包 
     * 第1個(gè)商品放入背包 
     */ 
} 

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