陶哲軒最新力作，在“自然數(shù)倒數(shù)之和是否為有理數(shù)”問(wèn)題上取得一系列進(jìn)展。

其中最引人矚目的一項(xiàng)成果，就是證明了一個(gè)非常反直覺(jué)的猜想，居、然、是、對(duì)、的：

存在一個(gè)遞增的自然數(shù)級(jí)數(shù)ak，使得對(duì)任意有理數(shù)t，都是有理數(shù)。（）

一位Topos研究所的數(shù)學(xué)物理學(xué)家John Carlos Baez在評(píng)論區(qū)毫不掩飾自己的驚嘆：

哇哦，這個(gè)結(jié)論太反直覺(jué)了！
不過(guò)這也意味著這項(xiàng)研究非常有趣。

為啥說(shuō)這個(gè)結(jié)論非常反直覺(jué)？

可以理解成，要使一個(gè)級(jí)數(shù)的和是有理數(shù)本來(lái)就很難，再加上任意有理數(shù)t的偏移量，還讓級(jí)數(shù)保持有理性，難度就又加幾個(gè)數(shù)量級(jí)了。

• 需要滿足對(duì)所有有理數(shù)t都成立，而有理數(shù)有無(wú)窮多個(gè)
• 每增加一個(gè)t，就相當(dāng)于增加一個(gè)約束條件
• 改變序列中任何一個(gè)數(shù)字a_k，都會(huì)同時(shí)影響所有t對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)和

數(shù)學(xué)家Kenneth Stolarsky或許也是如上所想的，所以提出了相反的Stolarsky猜想。

現(xiàn)在，陶哲軒的結(jié)論相當(dāng)于證明了Stolarsky猜想是不成立的。

果然，數(shù)學(xué)的神奇之處就在于，有時(shí)看似不可能的事情實(shí)際上是可能的，只是解決方案可能超出了我們的直觀認(rèn)知。

那么，陶哲軒的方法是怎么顛覆直覺(jué)的？

迭代逼近法解決無(wú)限維度問(wèn)題

從論文提交歷史可以看到，這項(xiàng)研究原本只有Vjekoslav Kova?一個(gè)作者，研究的是兩個(gè)特定級(jí)數(shù)的有理性問(wèn)題。

陶哲軒加入后，幫助Kova?擴(kuò)展到了對(duì)整個(gè)Ahmes級(jí)數(shù)的研究。

原本只有6頁(yè)的短論文，也擴(kuò)展成了28頁(yè)長(zhǎng)篇論證……

除了論文之外，陶哲軒還在個(gè)人博客上解釋了他們的思路。

不是直接嘗試構(gòu)造這個(gè)級(jí)數(shù)，而是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究一種集合，再使用“迭代逼近”方法，逐步解決。

先來(lái)解釋一下什么是Ahmes級(jí)數(shù)。

Ahmes級(jí)數(shù)是滿足如下形式的無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中a_k是一個(gè)嚴(yán)格遞增的自然數(shù)序列。

由于大多數(shù)實(shí)數(shù)都是無(wú)理數(shù)，人們也會(huì)期望這樣的級(jí)數(shù)“通?！币彩菬o(wú)理的，但很難確定一個(gè)特定級(jí)數(shù)的無(wú)理性。

首先，此前數(shù)學(xué)界已知道，如果a?的增長(zhǎng)速度比C^(2k)更快（對(duì)任意常數(shù)C），那么對(duì)應(yīng)的Ahmes級(jí)數(shù)一定是無(wú)理數(shù)。

也就是存在一個(gè)明確的“增長(zhǎng)速度分界線”，超過(guò)這個(gè)速度，級(jí)數(shù)必然無(wú)理。但接近這個(gè)速度時(shí)，仍可能找到有理的例子。

接下來(lái)，論文中表明了如果滿足a???=O(a?2)，意味著a???比a?2增長(zhǎng)得慢得多。

那么可以找到一個(gè)可比較的級(jí)數(shù)b?，和a?是漸進(jìn)關(guān)系，且∑(1/b?)是有理數(shù)。

這部分解決了Erd?s問(wèn)題#263：序列a? =2^2k是否符合這個(gè)性質(zhì)，是否所有增長(zhǎng)速度不超過(guò)指數(shù)級(jí)的級(jí)數(shù)都有這個(gè)性質(zhì)。

因?yàn)闂l件a???=O(a?2)不足以覆蓋a? =2^2k的情況，這個(gè)條件也不適用于所有指數(shù)級(jí)或更慢增長(zhǎng)的序列。

也就是a???=O(a?2)作為問(wèn)題的分界線，“差一點(diǎn)”就能完整的解決了。

在這之后，陶哲軒展示了一個(gè)新的變體結(jié)論：

如果級(jí)數(shù)a?滿足：a???=O(a?)（即下一項(xiàng)不會(huì)比當(dāng)前項(xiàng)增長(zhǎng)太快） 且∑(1/a?)收斂。

那么可以找到b?，使得：b?=a?+O(1)（即b?與a?只差一個(gè)有界的常數(shù)） 且∑(1/b?)是有理數(shù)。

這又和Erd?s問(wèn)題#264相關(guān)：

其中a?=2^k時(shí)的情況被完全解決了，因?yàn)?^k是指數(shù)增長(zhǎng)。

問(wèn)題中的第二部分，關(guān)于a?=k!的情況，超出了當(dāng)前方法的能力范圍。

新的分界線被定位到了指數(shù)增長(zhǎng)。

就像這樣……一步一步迭代逼近，就到了Erd?s問(wèn)題#266，也是更高維度的變體。

陶哲軒避免了任何數(shù)論難題，主要依賴有理數(shù)集的可數(shù)稠密性。（具體論證過(guò)程略）

最終，Stolarsky猜想被轉(zhuǎn)化為一個(gè)無(wú)限維的問(wèn)題。

陶哲軒讓維度數(shù)d隨k增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)的速度要保持夠慢，這樣既保證收斂又保證稠密性。

不是陶解決的第一個(gè)Erd?s問(wèn)題

前面提到，陶哲軒給出結(jié)論的的這個(gè)問(wèn)題，是Erd?s問(wèn)題#266。

由沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)獲得者、匈牙利數(shù)學(xué)家Paul Erd?s（1913年3月26日－1996年9月20日）提出。

不過(guò)，這個(gè)問(wèn)題的相關(guān)起源最早能追溯到古埃及時(shí)期——

古代埃及人在進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)，只使用分子是1的分?jǐn)?shù)。因此這種分?jǐn)?shù)也叫做埃及分?jǐn)?shù)，或者叫單分子分?jǐn)?shù)。

他們把所有復(fù)雜分?jǐn)?shù)，都表示成單分子分?jǐn)?shù)的和，例如3/4，一定要表示成3/4=1/2+1/4。

故而很長(zhǎng)一段時(shí)間（大概幾千年吧），數(shù)學(xué)史家都堅(jiān)持認(rèn)為古埃及人不會(huì)使用分?jǐn)?shù)；現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們也一度認(rèn)為埃及人之所以未能把算術(shù)和代數(shù)發(fā)展到較高水平，其分?jǐn)?shù)運(yùn)算之繁雜（就是非要把真分?jǐn)?shù)分解成單分子分?jǐn)?shù)）也是原因之一。

等到數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)里面隱含了何等豐富的內(nèi)容，已經(jīng)是兩千多年后的后話了。

OK，讓我們回到Erd?s問(wèn)題和Erd?s本人。

Erd?s被譽(yù)為20世紀(jì)最富有創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)猜想提出者之一，21歲時(shí)就被授予數(shù)學(xué)博士學(xué)位，論文導(dǎo)師也是馮·諾伊曼的恩師利波特·費(fèi)杰爾（Léopold Féjér）。

Erd?s一輩子合作了超過(guò)500位數(shù)學(xué)家，畢生發(fā)表了約1525篇數(shù)學(xué)論文，數(shù)量之多，至今無(wú)人能及。

他窮其一生，致力于并提出了離散數(shù)學(xué)、圖論、數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、逼近理論、集合論和概率理論中的問(wèn)題，其中大部分工作集中在離散數(shù)學(xué)領(lǐng)域，解決了該領(lǐng)域許多以前未解決的難題。

83歲時(shí)，因心臟病突發(fā)，Erd?s去世在華沙的一個(gè)數(shù)學(xué)會(huì)議上。

如他所愿，他的墓志銘上寫道：我終于不再變笨了（Végre nem butulok tovább）。

值得一提的是，Erd?s問(wèn)題#266不是陶哲軒解決的第一個(gè)Erd?s相關(guān)問(wèn)題。

2015年9月，陶哲軒在arXiv上掛了一篇論文《The Erd?s discrepancy problem》，宣布證明了Paul Erd?s在20世紀(jì)30年代提出的數(shù)論猜想“埃爾德什差異問(wèn)題”存在。

埃爾德什差異問(wèn)題于1932年被Erd?s提出，此前困擾了學(xué)術(shù)界80多年。

與許多數(shù)論難題一樣，埃爾德什差異問(wèn)題描述起來(lái)很簡(jiǎn)單，但證明難度卻很大。

通俗點(diǎn)闡述它：

假如你有一個(gè)由1和-1（例如由扔硬幣隨機(jī)產(chǎn)生）組成的數(shù)列和常數(shù)C。你要尋找到一個(gè)足夠長(zhǎng)的有限數(shù)列，使這一數(shù)列的總和大于常數(shù)C。

有意思的是，為了證實(shí)這個(gè)曾經(jīng)的猜想，陶哲軒經(jīng)過(guò)了多年手動(dòng)計(jì)算和計(jì)算機(jī)嘗試，還加入過(guò)一個(gè)專門研究它的小分隊(duì)合力專研（雖然當(dāng)時(shí)失敗了）。

最終，破題的靈感來(lái)自德國(guó)數(shù)學(xué)家尤威·斯特羅斯基在陶博客下的評(píng)論，暗示陶研究的另一個(gè)問(wèn)題可能與埃爾德什差異問(wèn)題有關(guān)。

“起初，我認(rèn)為這種聯(lián)系只是表面的?！钡照苘幒芸煲庾R(shí)到將新思路和已有的結(jié)果結(jié)合在一起，很可能得到問(wèn)題的證明。

這件事在當(dāng)年當(dāng)月，登上了Nature，題為《數(shù)學(xué)天才解決了一個(gè)大師級(jí)謎題》。

更有意思的是，Erd?s和陶哲軒的緣分，能追溯到更更更早。

1985年，72歲的Erd?s去澳大利亞講學(xué)。

在阿德萊德大學(xué)（8歲起，中學(xué)生陶哲軒用1/3的時(shí)間在該校學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理課程）的安排下，時(shí)年10歲的小陶哲軒拜見(jiàn)了Erd?s。

Erd?s認(rèn)真閱讀了陶哲軒寫的論文，并鼓勵(lì)他說(shuō)：“你是很棒的孩子，繼續(xù)努力！”

后來(lái)，Erd?s還寫了推薦信，推薦陶哲軒到普林斯頓大學(xué)攻讀博士學(xué)位。

2010年，英國(guó)衛(wèi)報(bào)評(píng)選了兩千多年來(lái)“世界十大數(shù)學(xué)天才”，認(rèn)為他們的革命性發(fā)現(xiàn)改變著我們的世界——Erd?s和陶哲軒都榜上有名。

這兩位數(shù)學(xué)大家還有一張非常經(jīng)典的合影：

2013年，Erd?s誕辰100周年之際，陶哲軒在自己的博客上分享了一張當(dāng)年和Erd?s的珍貴合影，以表懷念和感激。

One More Thing

But！

雖然#266被陶給出了結(jié)論，但Paul Erd?s還留下了很多問(wèn)題沒(méi)被解決，這些問(wèn)題通常是他在與其他數(shù)學(xué)家的合作中提出的，也有些是他獨(dú)自思考后形成的。

這些問(wèn)題涵蓋了數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、圖論、概率論等多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

目前，860個(gè)問(wèn)題中，還有580個(gè)問(wèn)題等著被探索（去掉#266也還有579個(gè)）。這些問(wèn)題分別設(shè)置了0-10000美元的獎(jiǎng)金。

這些燦爛又迷人的遺產(chǎn)，直到今天仍激勵(lì)著每一位數(shù)學(xué)家，推動(dòng)數(shù)學(xué)的進(jìn)步，也讓后來(lái)者從中獲得新的視角和靈感。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2406.17593v3