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陶哲軒又發(fā)新論文了！

這也是時(shí)隔一年，他再次獨(dú)立發(fā)表新論文。（arXiv顯示上一篇獨(dú)作論文發(fā)表時(shí)間是在去年2月）

這篇新論文依舊與陶哲軒鉆研的數(shù)論領(lǐng)域有關(guān)。

它證明了著名數(shù)學(xué)家埃爾德什·帕爾（Erd?s Pál）提出的一個(gè)交錯(cuò)素?cái)?shù)級(jí)數(shù)猜想，在哈代-李特爾伍德素?cái)?shù)k元組猜想成立的條件下，是成立的。

（當(dāng)然，哈代-李特爾伍德素?cái)?shù)k元組猜想也是一個(gè)懸而未解的猜想，因此這項(xiàng)研究只是部分證明，并沒(méi)有完全解決）

這項(xiàng)研究，還用到了他在幾年前與合作者共同提出的一個(gè)素?cái)?shù)隨機(jī)模型。

一起來(lái)看看。

證明了什么樣的猜想？

核心來(lái)說(shuō)，這篇新論文要證明的，是埃爾德什提出的一個(gè)關(guān)于交錯(cuò)素?cái)?shù)級(jí)數(shù)收斂性的猜想。

這個(gè)猜想與一個(gè)長(zhǎng)這樣的交錯(cuò)級(jí)數(shù)有關(guān)，其中pn是第n個(gè)素?cái)?shù)：

交錯(cuò)級(jí)數(shù)，指的是項(xiàng)的符號(hào)是正負(fù)交替、而數(shù)值絕對(duì)值單調(diào)遞減的無(wú)限級(jí)數(shù)。它的一般形式，大伙兒在學(xué)高數(shù)時(shí)應(yīng)該都見(jiàn)過(guò)：

但交錯(cuò)級(jí)數(shù)并不一定收斂，因此需要具體級(jí)數(shù)具體判斷，這次陶哲軒證明的就是交錯(cuò)級(jí)數(shù)中的一個(gè)特殊類型，即an是素?cái)?shù)pn的倒數(shù)，這個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的。

不過(guò)，還有個(gè)前提條件——在哈代-李特爾伍德素?cái)?shù)k元組猜想成立的條件下。

哈代-李特爾伍德素?cái)?shù)k元組猜想，由英國(guó)科學(xué)家哈代和李特爾伍德提出，它預(yù)測(cè)了給定差值集合的k個(gè)素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率。

猜想認(rèn)為，存在兩個(gè)絕對(duì)常數(shù)ε>0和C>0，對(duì)于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整數(shù)h1,…,hk組成的k元組，這個(gè)式子成立：

不過(guò)，這個(gè)猜想至今尚未解決。

這次陶哲軒直接在假設(shè)它成立的基礎(chǔ)上，證明了交錯(cuò)素?cái)?shù)級(jí)數(shù)收斂性猜想的成立。整個(gè)過(guò)程大約可以分為四步：

首先，基于Van der Corput差分定理來(lái)降低素?cái)?shù)計(jì)數(shù)間隔的長(zhǎng)度。

由于證明這個(gè)猜想，實(shí)際上需要估計(jì)區(qū)間[1,x]內(nèi)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的奇偶性分布，因此使用差分定理的目的，能將它轉(zhuǎn)化為僅考慮較短區(qū)間內(nèi)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)奇偶性的問(wèn)題。

轉(zhuǎn)化為這個(gè)問(wèn)題之后，實(shí)際上就能用哈代-李特爾伍德素?cái)?shù)k元組猜想來(lái)證明問(wèn)題成立。

因此，接下來(lái)論文在假設(shè)哈代-李特爾伍德素?cái)?shù)k元組猜想成立的基礎(chǔ)上，估計(jì)了短區(qū)間內(nèi)k個(gè)素?cái)?shù)的概率。

然后，陶哲軒使用幾年前與兩位數(shù)學(xué)家William Banks和Kevin Ford共同建立的隨機(jī)素?cái)?shù)模型，來(lái)建模素?cái)?shù)分布。

最后基于這個(gè)模型建立的分布證明猜想。

這篇博客發(fā)出后不久，就有網(wǎng)友趕來(lái)點(diǎn)贊，表示自己也在從用另一種方法嘗試解決這個(gè)猜想：

點(diǎn)贊！

我3周前剛在Thomas Bloom的網(wǎng)頁(yè)上發(fā)現(xiàn)了這個(gè)猜想，不過(guò)只有這篇論文第一句話的內(nèi)容。

我從計(jì)算（computational）的角度嘗試搞定它。我把它看作是觀察每個(gè)結(jié)果的偶數(shù)和奇數(shù)索引之間的差異，然后嘗試進(jìn)行曲線擬合，以確定差異可能為零的位置。

雖然不知道我的數(shù)據(jù)是否對(duì)解決這個(gè)問(wèn)題有幫助，不過(guò)至少這提高了我的編程技能。

我還需要一些時(shí)間來(lái)消化你的論文，感謝！

One More Thing

值得一提的是，2004年陶哲軒和本·格林（Ben Joseph Green）提出的著名格林-陶定理，也是基于埃爾德什·帕爾（Erd?s Pál）另一個(gè)更著名的等差數(shù)列猜想而來(lái)。

其中，埃爾德什等差數(shù)列猜想如下：

格林-陶定理進(jìn)一步將猜想范圍縮小到他們研究的素?cái)?shù)范圍內(nèi)，相當(dāng)于埃爾德什等差數(shù)列猜想的一個(gè)“特例”：

埃爾德什為解決這個(gè)等差數(shù)列猜想懸賞了5000美元。

這些年除了陶哲軒以外，也有不少數(shù)學(xué)家致力于它的研究，例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他們?cè)?020年，證明了整數(shù)無(wú)窮數(shù)列一定包含長(zhǎng)度至少為三的等差數(shù)列，將這個(gè)問(wèn)題又向前推進(jìn)了一步。

感興趣的小伙伴們可以挑戰(zhàn)一下了（手動(dòng)狗頭）

新論文地址：https://arxiv.org/abs/2308.07205