生活中處處充滿數(shù)學(xué)，比如在經(jīng)典美劇《老友記》中，羅斯要搬家，卻在和瑞秋抬沙發(fā)上樓梯扶手時翻了車。這涉及了數(shù)學(xué)領(lǐng)域一個著名的未解決難題 —— 移動沙發(fā)問題（the moving sofa problem）。

來源：《老友記 S05E16》

該問題是由加拿大數(shù)學(xué)家 Leo Moser 于 1966 年正式提出：在寬度為 1 的 L 形平面走廊中，能夠通過一個直角轉(zhuǎn)彎的「沙發(fā)」的最大面積是多少？

1968 年，數(shù)學(xué)家 John Michael Hammersley 提出了一種簡單的解法。他將沙發(fā)設(shè)計成類似于一個電話聽筒的形狀，由兩個四分之一圓和一個中間的矩形塊組成，中間的矩形塊中挖去了一個半圓形，從而得出的沙發(fā)最大面積為 2.2074。

但遺憾的是，這并不是最優(yōu)解。

1992 年，美國數(shù)學(xué)家 Gerver 在 Hammersley 沙發(fā)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，算出的最大沙發(fā)面積為 2.2195，雖然比 Hammersley 沙發(fā)面積略大一些，但在方法上卻聰明得多。

Gerver 沙發(fā)由 18 條不同的曲線段組成，其中包括圓弧、圓的漸開線以及圓的漸開線的漸開線等多種曲線。每條曲線段都由一個單獨(dú)的解析表達(dá)式描述，這使得 Gerver 沙發(fā)在數(shù)學(xué)上非常復(fù)雜。

Gerver 推測他的解決方案是最優(yōu)的，但他無法證明他的沙發(fā)是唯一一個（并且是最大面積的）滿足這個強(qiáng)條件的沙發(fā)。

2024 年 12 月 2 日，韓國學(xué)者 Jineon Baek 發(fā)表了一篇新論文，聲稱證明了 Gerver 確實(shí)是正確的 —— 他的沙發(fā)是最優(yōu)的。這項研究在社交媒體（如 x）上的熱度非常高，引起了很多人的關(guān)注。

圖源：x@Scientific_Bird

圖源：x@morallawwithin

不過，Jineon Baek 的證明論文足足有 119 頁，題目為《Optimality of Gerver’s Sofa》。相關(guān)專家驗證證明的正確性還需要一些時間。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826

這道困擾人類 58 年的數(shù)學(xué)難題終于有了答案，不少網(wǎng)友也發(fā)表了自己的看法。

「我甚至不是數(shù)學(xué)家，自從 20 年前聽說這個問題后，我就一直在思考它。每次我需要把東西通過門時，我都會想到這個問題?！?/span>

「我沒想到這個形狀會是最優(yōu)的，這 18 個部分看起來不夠優(yōu)雅?！?/span>

證明過程簡述

論文共分 8 章，目錄如下：

摘要只有一句話，「通過證明具有 18 個曲線段的 Gerver 沙發(fā)的確達(dá)到了最大面積 2.2195，進(jìn)而解決了移動沙發(fā)問題」。

下圖為 Gerver 的沙發(fā) G?？潭缺硎緲?gòu)成 G 邊界的 18 條解析曲線和線段的端點(diǎn)，包含 G 的支撐走廊 L_t 在右側(cè)以灰色表示。

在證明 Gerver 的沙發(fā) G 達(dá)到最大面積的過程中，作者除了在科學(xué)計算器上進(jìn)行數(shù)值計算之外，沒有使用任何的計算機(jī)輔助。下圖 1.3 為從走廊（頂部）和沙發(fā)（底部）視角來看移動沙發(fā)的移動。

下面為作者要證明的定理 1.1.1。

這個問題之所以很難，是因為沒有一個通用的公式可以計算所有可能的移動沙發(fā)面積。因此，為了解決這個問題，作者證明了最大面積的移動沙發(fā) S_max 的一個屬性，被稱為可注入性條件（injectivity condition）。

對于每個滿足條件的移動沙發(fā) S，作者將定義一個更大的形狀 R，它類似于 Gerver 沙發(fā)的形狀（下圖 1.2）。那么 R 的面積 Q (S) 就是 S 面積的上限，如果是 Gerver 沙發(fā) G，則 Q (S) 與 S 的精確面積相匹配。S 的可注入性條件確保區(qū)域 R 的邊界形成 Jordan 曲線，從而能夠使用格林定理計算 Q (S)。

然后，移動沙發(fā) S 面積的上界 Q (S) 相對于 S 的最大值如下所示：作者使用 Brunn-Minkowski 理論將 Q 表示為凸體元組 (K,B,D) 空間 L 上的二次函數(shù)（上圖 1.2），并使用 Mamikon 定理建立 Q 在 L 上的全局凹性（下圖 1.13）。

作者使用加州大學(xué)戴維斯分校數(shù)學(xué)系教授 Dan Romik [Rom18] 關(guān)于 Gerver 沙發(fā) G 的局部最優(yōu)方程，來證明 S = G 局部最大化 Q (S)。由于 Q 是凹的，因此 G 也全局最大化 Q。并且，由于上界 Q 與 G 處的面積相匹配，因此沙發(fā) G 也全局最大化了面積，從而證明定理 1.1.1。

具體來講，定理 1.1.1 的完整證明分為以下三個主要步驟：

• 步驟 1 ：限制最大面積移動沙發(fā) S_max 的可能形狀；
• 步驟 2 ：建立 S_max 的可注入性條件；
• 步驟 3 ：構(gòu)建滿足可注入性條件的移動沙發(fā) S 面積的上界 Q (S)，并最大化關(guān)于 S 的 Q (S)。

作者提供了步驟 1、2、3 的更細(xì)分步驟。

其中步驟 1-(a) 將 S_max 的可能形狀縮小為單調(diào)沙發(fā)（monotone sofa），即由支撐走廊內(nèi)角雕刻出的凹痕的凸體（下圖 1.4）。

步驟 1-(b) 重新證明了 Gerver 的一個重要局部最優(yōu)條件，即 S_max 的邊長應(yīng)該相互平衡（定理 1.3.1）。

由于 Gerver 的原始證明存在邏輯漏洞，沒有解決移動沙發(fā)的連通性問題，因此作者引入了新的想法并重新進(jìn)行了證明。步驟 1-(c) 使用前面的步驟和基本幾何來表明 S_max 在移動過程中旋轉(zhuǎn)了整整一個直角。

步驟 2 證明了 S_max 上的可注入性條件，這是之后建立上限 Q 的關(guān)鍵。它表明 L 內(nèi)角 (0,0) 的軌跡在移動沙發(fā)的視角（參考系）中不會形成自環(huán)（下圖 1.9）。

為了證明 S_max 的這一條件，作者在 S_max 上建立了一個新的微分不等式（等式 (1.9)。該不等式受到了 Romik 的一個 ODE 的啟發(fā)，該 ODE 平衡了 Gerver 沙發(fā)的微分邊（等式 (1.8)）。

步驟 3-(a) 將所有移動沙發(fā)的空間 S 擴(kuò)展為具有單射條件的凸體元組 (K,B,D) 的集合 L，使得每個 S 一一映射到 (K,B,D) ∈ L（但不一定到 L）。該凸體描述了包圍 S 的區(qū)域 R 的不同部分（上圖 1.2）。

步驟 3-(b) 定義了擴(kuò)展域 L 上的上界 Q。作者遵循 R 的邊界，并使用格林定理和 Brunn-Minkowski 理論中關(guān)于 K、B 和 D 的二次面積表達(dá)式來表示其面積 Q。同時使用單射條件和 Jordan 曲線定理嚴(yán)格證明 Q (K,B,D) 是 S 面積的上界。

步驟 3-(c) 使用 Mamikon 定理確定 Q 在 L 上的凹度（上圖 1.13）。步驟 3-(d) 計算由 Gerver 沙發(fā) G 產(chǎn)生的凸體 (K,B,D) ∈ L 處 Q 的方向?qū)?shù)。Romik [Rom18] 在 G 上的局部最優(yōu) ODE 用于表明方向?qū)?shù)始終為非正值。這意味著 G 是 Q 在 L 中的局部最優(yōu)值。Q 在 L 上的凹度意味著 G 也是 Q 在 L 中的全局最優(yōu)值。由于 G 處 Q 的值與面積匹配，沙發(fā) G 也全局最大化了面積，最終完成定理 1.1.1 的證明。

更具體的證明細(xì)節(jié)請參考原論文。

作者介紹

這篇論文的作者 Jineon Baek，本科畢業(yè)于韓國浦項科技大學(xué)，博士期間就讀于美國密歇根大學(xué)安娜堡分?！，F(xiàn)為韓國首爾延世大學(xué)的博士后研究員，導(dǎo)師是 Joonkyung Lee。

Jineon Baek2018 年講解關(guān)于非對角線 Erd?s-Szekeres 凸多邊形問題視頻截圖

他主要研究興趣是組合數(shù)學(xué)和幾何學(xué)中的優(yōu)化問題，這類問題往往通過簡單卻有趣的表述，能夠吸引更廣泛的受眾。

他在人工智能領(lǐng)域也發(fā)表過一些相關(guān)文章。他在醫(yī)學(xué)圖像處理、教育數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域發(fā)表了多篇會議和期刊論文，特別是在 X 射線 CT 圖像去噪、考試分?jǐn)?shù)預(yù)測、標(biāo)準(zhǔn)化考試準(zhǔn)備推薦系統(tǒng)等方面有所貢獻(xiàn)。

查閱 Jineon Baek 發(fā)表過的文章，就會發(fā)現(xiàn)這已經(jīng)不是他第一次研究移動沙發(fā)問題了。在今年 6 月他就移動沙發(fā)的上限問題進(jìn)行了研究。在新文章發(fā)布的 12 月 2 日當(dāng)天，arxiv 上顯示，這篇論文提交了一個更新版本（v2），之后撤回了該版本。

現(xiàn)在，不少網(wǎng)友在網(wǎng)上討論《Optimality of Gerver's Sofa》。

「非常直觀，正是大多數(shù)人會猜測的那樣。不過，我猜證明這一點(diǎn)要困難得多吧？」

「在現(xiàn)實(shí)生活中，答案取決于天花板的高度以及沙發(fā)是否帶有可傾斜的靠背?！?/span>

「對于沙發(fā)來說，這真的是一個糟糕的設(shè)計?！?/span>

你怎么看這個移動沙發(fā)的最優(yōu)解呢？