臭名昭著的「搬沙發(fā)」難題，已經(jīng)困擾了數(shù)學(xué)家們60年。

《老友記》經(jīng)典的一幕，就是Ross找人幫忙搬新沙發(fā)時(shí)，無(wú)論如何也無(wú)法使沙發(fā)順利通過(guò)拐角。

Ross大喊「Pivot！Pivot！」，意即繞著某個(gè)中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)

「搬沙發(fā)」難題之所以如此棘手，就在于它要求在幾何學(xué)上滿(mǎn)足最大形狀在狹窄走廊中轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)直角而不被卡住。

能順利通過(guò)L形走廊的最大沙發(fā)形狀和尺寸是什么？這個(gè)問(wèn)題，難倒了數(shù)學(xué)家們60年。

在流行數(shù)學(xué)論壇Mathoverflow上，「任何人都能理解的并不著名長(zhǎng)期數(shù)學(xué)問(wèn)題」排行榜中，這個(gè)難題長(zhǎng)期排名第二

如今，這個(gè)難題一朝破解！

移動(dòng)沙發(fā)難題，數(shù)學(xué)家探索了60年

1966年，加拿大數(shù)學(xué)家Leo Moser將「移動(dòng)沙發(fā)難題」以定量的形式提出——

假設(shè)要移動(dòng)一個(gè)二維形狀（忽略沙發(fā)高度）通過(guò)寬度為1單位的L形走廊，那么這個(gè)不會(huì)被卡住的最大形狀的面積是多少呢？

起初，人們很容易想到一些能通過(guò)轉(zhuǎn)角的簡(jiǎn)單形狀。比如邊長(zhǎng)為1的正方形，能順利通過(guò)轉(zhuǎn)角，面積為1。

然而，一旦正方形伸長(zhǎng)成矩形，就會(huì)立刻失效，撞上走廊。

數(shù)學(xué)家們想到：既然如此，就可以通過(guò)引入完全的形狀，來(lái)擴(kuò)大面積！

比如一個(gè)半徑為1的半圓，面積約為1.57（π/2），當(dāng)它撞到拐彎處時(shí)，圓形的邊緣就留下了足夠的空間，來(lái)通過(guò)角落。

但是，這些形狀的面積仍然不夠大！顯然不是數(shù)學(xué)家們追求的最優(yōu)解。一定還有面積更大、更巧妙的形狀。

問(wèn)題關(guān)鍵就在于，既要優(yōu)化形狀大小，還要優(yōu)化穿越路徑。也就是說(shuō)，有兩種類(lèi)型的運(yùn)動(dòng)：滑動(dòng)和旋轉(zhuǎn)。

而解決問(wèn)題的關(guān)鍵，就在于同時(shí)優(yōu)化兩種類(lèi)型的運(yùn)動(dòng)。

1968年，英國(guó)數(shù)學(xué)家John Hammersley發(fā)現(xiàn)：可以摳出一大塊，來(lái)應(yīng)對(duì)那個(gè)討厭的角落，同時(shí)延伸半圓形，讓我們的沙發(fā)面積更大（面積為 π/2 + 2/π, 大約2.2074）。

這種形狀像座機(jī)電話(huà)的沙發(fā)，就混合了滑動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的優(yōu)勢(shì)。

自從這個(gè)半圓形變?yōu)殡娫?huà)形的重大升級(jí)后，這個(gè)問(wèn)題一停滯就是24年！

1992年，羅格斯大學(xué)的Joseph Gerver提出了一種巧妙的形狀，面積約為2.2195，它似乎是目前已知最大的沙發(fā)。

看起來(lái)， Gerver的沙發(fā)看起來(lái)與Hammersley的沙發(fā)大差不差。

不過(guò)仔細(xì)看的話(huà)，會(huì)發(fā)現(xiàn)一些細(xì)微的差異：在這個(gè)新圖里，Gerver縫合了18個(gè)不同的形狀，在圓形切口底部的斜角邊緣，跟Hammersley的沙發(fā)有一些差別。

Gerver懷疑，自己找到了最大可能的大小，但無(wú)法自證。

數(shù)學(xué)家們也懷疑它就是Moser問(wèn)題的答案，但一直無(wú)法證明。

如今，這個(gè)數(shù)學(xué)世界難題終于有解了！

一位年輕的博士后研究員——首爾延世大學(xué)的Jineon Baek在一篇長(zhǎng)達(dá)119頁(yè)的論文中證明，Gerver設(shè)計(jì)的沙發(fā)就是能夠順利通過(guò)拐角的最大形狀！

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826

60年難題得解，數(shù)學(xué)界轟動(dòng)了。

此前，數(shù)學(xué)家們普遍認(rèn)為，要證明這個(gè)猜想可能需要計(jì)算機(jī)，而B(niǎo)aek的證明完全沒(méi)有使用計(jì)算機(jī)。

更有趣的是，Gerver的沙發(fā)與常見(jiàn)的幾何形狀不同，它的面積無(wú)法用已知的數(shù)學(xué)量（如π或平方根）來(lái)表示。

然而，在「移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題」這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題中，它卻是最優(yōu)解。

沙發(fā)與電話(huà)

說(shuō)起來(lái)，Gerver最開(kāi)始得知這個(gè)問(wèn)題，就是從John Hammersley那里。

后者將兩個(gè)四分之一圓與一個(gè)矩形相連，然后從中切出一個(gè)半圓，創(chuàng)造出了一個(gè)類(lèi)似老式電話(huà)的形狀。這個(gè)形狀的面積約為2.2074（π/2+2/π）。

Hammersley還證明了這個(gè)問(wèn)題的任何解，面積最大不會(huì)超過(guò)約2.8284（）。

幾年后，當(dāng)時(shí)還是加州大學(xué)伯克利分校研究生的Gerver得知了這個(gè)問(wèn)題。

在接下來(lái)的20年里，Gerver一直在斷斷續(xù)續(xù)思考這個(gè)問(wèn)題。

直到1990年，他向著名數(shù)學(xué)家John Conway提及此事，才發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)未解之謎。

這激發(fā)了他的斗志，不久后，他就提出了一個(gè)極具潛力的方案。

Gerver的沙發(fā)形狀比Hammersley的更復(fù)雜，由18個(gè)不同部分組成。有些部分是簡(jiǎn)單的線(xiàn)段和弧線(xiàn)，有些則更加奇特。

盡管形狀復(fù)雜，但Gerver懷疑它就是最優(yōu)解：它具有數(shù)學(xué)家期望的許多特征，這是最佳沙發(fā)所擁有的特質(zhì)。

他證明了對(duì)其輪廓進(jìn)行小的改變，并不會(huì)得到面積更大的合適形狀。

后來(lái)他還發(fā)現(xiàn)，貝爾實(shí)驗(yàn)室的工程師Ben Logan也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了相同的形狀，但從未發(fā)表。

2016年，加州大學(xué)戴維斯分校的數(shù)學(xué)家Dan Romik對(duì)Gerver的沙發(fā)給出了更具概念性的描述。

他寫(xiě)下了一組包含22個(gè)變量的22個(gè)方程，這組方程的唯一解在繪圖時(shí)就是Gerver發(fā)現(xiàn)的類(lèi)似電話(huà)的形狀。

次年，Romik和Yoav Kallus利用計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)縮小了Hammersley給出的面積上限與Gerver形狀面積之間的差距，但仍未完全解決問(wèn)題。

年輕博士后攻克難關(guān)

在探索這個(gè)問(wèn)題的征程中，韓國(guó)延世大學(xué)的博士后Jineon Baek脫穎而出。

2016年，剛進(jìn)入密歇根大學(xué)攻讀研究生的Baek因服兵役中斷學(xué)業(yè)。在服役期間，他在一篇博客文章中看到了「移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題」。

起初，他只是把它當(dāng)作工作之余放松的方式，但很快就認(rèn)真起來(lái)。

他有一個(gè)初步想法，能證明Gerver的沙發(fā)是正確答案，但還有許多細(xì)節(jié)需要完善。2021年回到學(xué)校后，他決心攻克這個(gè)難題。

通常情況下，數(shù)學(xué)博士生會(huì)選擇導(dǎo)師，然后由導(dǎo)師分配研究問(wèn)題。

但Baek一心想研究「移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題」，這使得他在尋找導(dǎo)師時(shí)遇到了困難，因?yàn)槊苄髮W(xué)的教授們覺(jué)得自己在這個(gè)領(lǐng)域缺乏足夠的專(zhuān)業(yè)知識(shí)。

幸運(yùn)的是，代數(shù)領(lǐng)域的專(zhuān)家Michael Zieve同意指導(dǎo)他。Zieve表示：「我從未指導(dǎo)過(guò)與我研究領(lǐng)域相差這么遠(yuǎn)的學(xué)生，但我愿意嘗試?！?/span>

這種跨領(lǐng)域的指導(dǎo)，為Baek的研究帶來(lái)了新的視角和可能。

在攻讀博士期間，Baek在Kallus和Romik的工作基礎(chǔ)上繼續(xù)深入研究。他開(kāi)發(fā)了強(qiáng)大的計(jì)算工具，進(jìn)一步縮小了面積上限，取得了重要的階段性成果。

原本，Baek打算畢業(yè)后繼續(xù)采用計(jì)算方法來(lái)徹底解決「移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題」。但幾個(gè)月后，他意識(shí)到或許可以不依賴(lài)計(jì)算機(jī)來(lái)完成證明。

數(shù)學(xué)家們?cè)缫阎?，任何滿(mǎn)足「移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題」的解都需要具備特定條件。比如，最優(yōu)沙發(fā)要能夠以特定方式旋轉(zhuǎn)，底部需要有為走廊轉(zhuǎn)角留出空間的部分等等。

滿(mǎn)足這些條件的形狀有無(wú)窮多個(gè)，Baek首先做的是縮小范圍，通過(guò)一系列復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理證明，最優(yōu)形狀至少與Gerver的沙發(fā)相似。

他將每個(gè)沙發(fā)表示為無(wú)限維空間中的一個(gè)點(diǎn)。理想情況下，他希望找到一個(gè)函數(shù)，輸入點(diǎn)就能輸出沙發(fā)面積，進(jìn)而找到函數(shù)輸出最大時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

但由于不存在能計(jì)算所有形狀面積的通用公式，他決定間接研究形狀面積。Baek發(fā)明了一個(gè)新函數(shù)Q，并定義了它的幾個(gè)重要屬性。

首先，對(duì)于他所定義空間中的任何沙發(fā)，Q的輸出至少和沙發(fā)面積一樣大，它本質(zhì)上測(cè)量的是包含沙發(fā)的一個(gè)形狀的面積。這意味著如果能找到Q的最大值，就能得到最優(yōu)沙發(fā)面積的一個(gè)上限。

更關(guān)鍵的是，對(duì)于Gerver的沙發(fā)，函數(shù)Q的輸出恰好等于其面積。所以，Baek只需證明當(dāng)輸入為Gerver的沙發(fā)時(shí)，Q能取到最大值，就能證明Gerver的沙發(fā)是「移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題」的最優(yōu)解。

Baek精心構(gòu)建的Q函數(shù)表現(xiàn)很好，類(lèi)似于簡(jiǎn)單的拋物線(xiàn)，相對(duì)容易找到最大值。他證明了使Q最大化得到的形狀滿(mǎn)足一組特定條件，而定義Gerver沙發(fā)的方程也滿(mǎn)足這些條件。

就這樣，他解決了這個(gè)困擾數(shù)學(xué)家們數(shù)十年的難題，證明了Gerver的沙發(fā)是能通過(guò)走廊且不被轉(zhuǎn)角卡住的最大形狀。

Baek的證明仍在同行評(píng)審中。他結(jié)合了數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的技術(shù)，讓這個(gè)原本極其困難的問(wèn)題變得可解，而且全程沒(méi)有借助計(jì)算機(jī)。

Zieve評(píng)價(jià)道：「Baek能不借助計(jì)算機(jī)完成證明，令人印象深刻，這表明其中有重要的新想法。」

Gerver在提出方案30多年后，終于看到問(wèn)題被解決，他感慨道：「我現(xiàn)在75歲了，能活著看到有人最終解決了這個(gè)問(wèn)題，我覺(jué)得很幸運(yùn)?！?/span>

論文簡(jiǎn)介

摘要：通過(guò)證明具有18個(gè)曲線(xiàn)段的Gerver沙發(fā)的確達(dá)到了最大面積2.2195，解決了移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題。

作者這樣定義Gerver的沙發(fā)G：刻度標(biāo)記表示構(gòu)成G邊界的18條解析曲線(xiàn)和線(xiàn)段的端點(diǎn)。右側(cè)顯示了包含G的支撐走廊Lt，以灰色表示。

Gerver的一個(gè)基本思想，就是將移動(dòng)沙發(fā)S看作是旋轉(zhuǎn)走廊的交集。

從S的視角來(lái)看，S在走廊L內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。此時(shí)S在參考框架中是固定的，而L則圍繞S旋轉(zhuǎn)和平移，同時(shí)始終包含S。因此，S是旋轉(zhuǎn)走廊的一個(gè)共同子集

在這篇論文中，作者證明了以下定理。

這個(gè)問(wèn)題之所以困難，是因?yàn)闆](méi)有一個(gè)通用的公式可以計(jì)算所有可能的移動(dòng)沙發(fā)的面積。

為了解決這一問(wèn)題，研究者證明了一個(gè)稱(chēng)為單射性條件的性質(zhì)，該條件適用于最大面積的移動(dòng)沙發(fā)。

對(duì)于滿(mǎn)足該條件的每個(gè)移動(dòng)沙發(fā)S，都將定義一個(gè)更大的形狀R，其形狀類(lèi)似于Gerver的沙發(fā)（見(jiàn)圖1.2）。

然后，R的面積Q(S)作為S面積的上界，并且當(dāng)S是Gerver的沙發(fā)G時(shí)，Q(S) 恰好等于S的實(shí)際面積。

S的單射性條件確保區(qū)域R的邊界形成一個(gè)Jordan曲線(xiàn)，使我們能夠利用格林定理計(jì)算Q(S)。

為此，需要證明以下三點(diǎn)：

1. 縮小最大面積移動(dòng)沙發(fā)S_max的可能形狀范圍。

2. 證明S_max滿(mǎn)足單射性的條件。

3. 在單射性條件下建立沙發(fā)面積的上界Q。

接下來(lái)將S_max的形狀縮小為單調(diào)沙發(fā)，以下就是單調(diào)沙發(fā)S在走廊視角（左）和沙發(fā)視角（右）下，以旋轉(zhuǎn)角ω=π/2運(yùn)動(dòng)的情況。

然后，研究者證明了S_max的邊長(zhǎng)應(yīng)該互相平衡。

他們重新推導(dǎo)了Gerver關(guān)于定理1.3.1的證明，證明了平衡最大沙發(fā)的存在，即存在一種具有最大面積的單調(diào)沙發(fā)，它可以被平衡多邊形以足夠接近的程度逼近。

隨后，他們證明了在前一階段找到的平衡最大沙發(fā)允許以旋轉(zhuǎn)角π/2進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。

在論文最后，研究者提取了Gerver沙發(fā)G的相關(guān)性質(zhì)，證明了G是全局最優(yōu)解。