彩票怎樣才能中獎(jiǎng)?

理論上，只能靠運(yùn)氣。但是，如果規(guī)則設(shè)計(jì)得不好，就可以鉆漏洞。 

2005年2月，美國(guó)的一個(gè)彩票品種，就出現(xiàn)了漏洞，被麻省理工學(xué)院的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了。隨后的七年，這個(gè)學(xué)生反復(fù)購(gòu)買這個(gè)品種，一共賺到了300萬美元。

本文介紹他怎么做的，以及其中的數(shù)學(xué)原理。我依據(jù)的材料，主要來自數(shù)學(xué)教授 Jordan Ellenberg 在斯坦福大學(xué)的一次演講(Youtube)。

一、期望值

彩票最重要的數(shù)學(xué)概念，叫做"期望值"(expected value)，即同一種行為多次重復(fù)以后，所能得到的平均收益。

舉例來說，如果每次抽獎(jiǎng)需要2元，假設(shè)200次抽獎(jiǎng)可以中獎(jiǎng)一次，獎(jiǎng)金為300元。那么，你花了2000元，一共抽獎(jiǎng)1000次，中獎(jiǎng)了5次，獎(jiǎng)金為1500元。

也就是說，1000次抽獎(jiǎng)的總收益是1500元，每次的平均收益是1.5元，這就是期望值。它的計(jì)算公式如下。

期望值 = 300 * (1 / 200) + 0 * (199 / 200) = 1.5 

期望值是1.5元，但是每次抽獎(jiǎng)成本2元，于是凈虧損0.5元。

一看就知道，這個(gè)事情是不劃算的，做得越多，越不劃算。偶爾買一次彩票，倒也算了;如果你一天到晚不斷買彩票，就肯定會(huì)虧很多錢(上例是每200次虧100元)。

總之，期望值是衡量彩票收益的一個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)。

二、馬薩諸塞州的 WinFall 彩票

美國(guó)馬薩諸塞州有一個(gè)彩票品種，叫做 WinFall。它的規(guī)則很簡(jiǎn)單：1到48里面，你猜6個(gè)數(shù)字，猜中就有獎(jiǎng)。

• 四等獎(jiǎng)(6個(gè)猜中2個(gè))：獎(jiǎng)金2元
• 三等獎(jiǎng)(6個(gè)猜中3個(gè))：獎(jiǎng)金5元
• 二等獎(jiǎng)(6個(gè)猜中4個(gè))：獎(jiǎng)金150元
• 一等獎(jiǎng)(6個(gè)猜中5個(gè))：獎(jiǎng)金4000元
• 特等獎(jiǎng)(6個(gè)猜中6個(gè))：獎(jiǎng)金池剩余的全部獎(jiǎng)金

有一期，一共賣出了930萬張彩票，其中特等獎(jiǎng)一個(gè)，獎(jiǎng)金100萬美元，一等獎(jiǎng)238個(gè)，二等獎(jiǎng)11625個(gè)，三等獎(jiǎng)19.8萬個(gè)，四等獎(jiǎng)136.8萬個(gè)。

計(jì)算可知，這種彩票的期望值是0.798元。 

期望值 =  
100萬 * ( 1 / 930萬) +  
4000 * ( 238 / 930萬) +  
150 * (11625 / 930萬) +  
5 * (19.8萬 / 930萬) +  
2 * (136.8萬 / 930萬 )  
= 0.798 

每張彩票的價(jià)格是2元，可是平均收益只有0.798元，連一半都不到，可見這種彩票是非常不劃算的。因此沒有吸引力，購(gòu)買這種彩票的民眾不斷減少。

州政府很著急，因?yàn)檎畯牟势背槌?0%(每張0.4元)。如果銷售量減少，政府的收益也會(huì)減少。于是，政府為了增加這種彩票的吸引力，決定修改彩票規(guī)則。

三、新規(guī)則

新的規(guī)則是，如果當(dāng)期沒有特等獎(jiǎng)(沒人猜中6個(gè)數(shù)字)，那么獎(jiǎng)金會(huì)分配給一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的得主，各獎(jiǎng)項(xiàng)新的中獎(jiǎng)金額如下。

• 一等獎(jiǎng)(6中5)：50000元
• 二等獎(jiǎng)(6中4)：2385元
• 三等獎(jiǎng)(6中3)：60元

還是使用前面的中獎(jiǎng)率，計(jì)算期望值。 

期望值 = 
　　50000 * ( 238 / 930萬) + 
　　2385 * (11625 / 930萬) + 
　　60 * (19.8萬 / 930萬) + 
　　= 5.53 

每張彩票的價(jià)格還是2元，但是期望值變成了5.53元。購(gòu)買這種彩票就變得非常劃算，大量購(gòu)買的話， 可以得到2.5倍的收益。之所以期望值大于彩票的成本，是因?yàn)楠?jiǎng)金池還包含前期剩余的獎(jiǎng)金。

麻省理工學(xué)院的一個(gè)學(xué)生，發(fā)現(xiàn)了這一點(diǎn)。他湊了5000元購(gòu)買彩票，結(jié)果中了將近15000元!

四、如何選擇號(hào)碼?

現(xiàn)在我們知道，新規(guī)則的彩票是有利可圖的，可以大量購(gòu)買。但是，還有一個(gè)問題，應(yīng)該怎么選擇號(hào)碼，才能保證收益?也就是說，48個(gè)號(hào)碼里面，你應(yīng)該選擇哪6個(gè)號(hào)碼，才能收益最大化?

畢竟你不能購(gòu)買所有彩票，因?yàn)椴势钡氖找鎭碜詻]中獎(jiǎng)的那些人。你只能購(gòu)買一部分彩票，設(shè)法使得自己購(gòu)買的號(hào)碼有最大的中獎(jiǎng)可能。

為了簡(jiǎn)化思考，讓我們考慮一種簡(jiǎn)單的情況。1到7里面猜三個(gè)數(shù)字，獎(jiǎng)金如下。

• 猜中3個(gè)：獎(jiǎng)金6元
• 猜中2個(gè)：獎(jiǎng)金2元
• 猜中1個(gè)：無獎(jiǎng)金

你可以同時(shí)選擇七種組合(即購(gòu)買七張彩票)，請(qǐng)問應(yīng)該如何選擇號(hào)碼?

五、組合數(shù)公式

首先，讓我們考慮一下，1到7這七個(gè)數(shù)字里面，三個(gè)數(shù)字的組合一共有多少種?這在數(shù)學(xué)里面，叫做組合數(shù)公式。

• 組合數(shù)公式是指從 m 個(gè)不同元素中，取出 n(n ≤ m)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，用符號(hào) c(m, n) 表示。

它的計(jì)算公式如下。

c(m, n) = m! / n! * (m - n)! 

上面公式中，感嘆號(hào)表示階乘，比如4! 等于4 * 3 * 2 * 1 。

按照上面的定義，七個(gè)數(shù)字里面的三個(gè)號(hào)碼的組合，共有c(7, 3)個(gè)。

c(7, 3) = 7! / 3! * (7 - 3)! = 35 

這就是說，三個(gè)數(shù)字的組合共有 35 種。我們可以把它們?nèi)苛谐鰜怼?nbsp;

123 124 125 126 127 
134 135 136 137 
145 146 147 
156 157 
167 
234 235 236 237 
245 246 247 
256 257 
267 
345 346 347 
356 357 
367 
456 457 
467 
567 

上面是所有35種可能的組合，你必須從中選出7種。請(qǐng)問應(yīng)該選擇哪七種?

六、最佳組合

答案是下面這七種組合。

123 145 167 247 256 346 357 

這七張彩票能讓你的收益最大化。因?yàn)?，不管最后的中?jiǎng)號(hào)碼是什么，它們可以保證你總是獲得6元獎(jiǎng)金。如果中獎(jiǎng)號(hào)碼是123，那么你拿到頭獎(jiǎng)6元;如果中獎(jiǎng)號(hào)碼是367，那么167、346、357這三張彩票各自猜中兩個(gè)號(hào)碼，你中了三個(gè)小獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金總額也是6元。

仔細(xì)觀察這七張彩票，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們是精心選擇的：每個(gè)數(shù)字都正好出現(xiàn)三次。這導(dǎo)致你要么中一個(gè)大獎(jiǎng)，要么中三個(gè)小獎(jiǎng)。

七、幾何選擇法

這七張彩票是怎么選出的呢? 

有一種幾何方法，可以非常簡(jiǎn)單地做到這一點(diǎn)。七個(gè)號(hào)碼就是七個(gè)點(diǎn)，把它們用直線連起來，每根線上只能有三個(gè)點(diǎn)，而每個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)在三根線上。畫成上面的形狀，就得到了七根線(內(nèi)部的圓也算一根線)。然后，記錄一下每根線上的號(hào)碼，很簡(jiǎn)單就選出了七張彩票。

更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明是這樣的：1到7這七個(gè)數(shù)字，共有21種兩個(gè)數(shù)字的組合(C(7, 2))，這意味著只要把這21種組合都買全了，就可以保證中三個(gè)小獎(jiǎng)。因?yàn)槿齻€(gè)中獎(jiǎng)號(hào)碼里面，共有三種兩個(gè)數(shù)字的組合(比如中獎(jiǎng)號(hào)碼是367，那么36、37、67都可以中小獎(jiǎng))。另一方面，由于每張彩票包含三個(gè)號(hào)碼，即包含三種兩個(gè)數(shù)字的組合，那么最少只要買7張彩票就能覆蓋全部21種組合。

八、實(shí)際的策略

回到前面的問題，馬薩諸塞州的彩票應(yīng)該怎么買?

6個(gè)號(hào)碼只要猜中4個(gè)，就可以中二等獎(jiǎng)，只要把所有四個(gè)號(hào)碼的組合都買了，就可以確保中15個(gè)二等獎(jiǎng)(6個(gè)中獎(jiǎng)號(hào)碼共有15個(gè)四個(gè)號(hào)碼的組合C(6, 4))。

48個(gè)號(hào)碼里面共有194580種四個(gè)號(hào)碼的組合(C(48, 4))，既然一張彩票包含15種組合，那么最少購(gòu)買12972張彩票就夠了(194580 / 15 = 12972)，就可以包含所有四個(gè)號(hào)碼的組合。如果有興趣的話，你可以寫一個(gè)程序，算出包含這194580種組合的所有彩票。

購(gòu)買12972張彩票，需要25944元(12972 * 2)。根據(jù)前面的獎(jiǎng)金額，二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是2385元，那么15個(gè)二等獎(jiǎng)就是35775元(2385 * 15)。因此，投入25944元，可以無風(fēng)險(xiǎn)地獲得35775元。當(dāng)然，這樣做的前提是，當(dāng)期沒人猜中特等獎(jiǎng)，否則獎(jiǎng)金就會(huì)被大大稀釋。