我們都知道，實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，它們的定義也都很明確。但令人驚訝的是，其實(shí)很難證明一個(gè)數(shù)究竟能否寫成分?jǐn)?shù)形式。而現(xiàn)在，這個(gè)古老的問(wèn)題有了一種廣泛適用的新方法。

這種新方法有三位提出者，分別是芝加哥大學(xué)的數(shù)論和朗蘭茲綱領(lǐng)數(shù)學(xué)教授 Frank Calegari、加州理工學(xué)院數(shù)學(xué)教授 Vesselin Dimitrov、加州大學(xué)伯克利分校助理教授及 2022 年拉馬努金獎(jiǎng)得主唐云清。

唐云清，加州大學(xué)伯克利分校助理教授，本科畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，后在哈佛大學(xué)取得數(shù)學(xué)博士學(xué)位，2022 年成為首位獲拉馬努金獎(jiǎng)的華人女?dāng)?shù)學(xué)家。

量子雜志作者 Erica Klarreich 近日發(fā)文介紹了這種新方法。

原文地址：https://www.quantamagazine.org/rational-or-not-this-basic-math-question-took-decades-to-answer-20250108/

1978 年 6 月，在法國(guó)馬賽舉辦的一場(chǎng)大型數(shù)學(xué)會(huì)議上，主辦方最后一刻補(bǔ)充了一個(gè)日程。在午餐時(shí)間，數(shù)學(xué)家羅杰?阿培里（Roger Apéry）將展示一個(gè)證明，證明數(shù)學(xué)中最著名的數(shù)之一 ——zeta of 3，數(shù)學(xué)家寫作 ζ(3)—— 不能表示為兩個(gè)非負(fù)整數(shù)構(gòu)成的分?jǐn)?shù)。這個(gè)數(shù)是數(shù)學(xué)家所說(shuō)的「無(wú)理數(shù)」。

與會(huì)者都持懷疑態(tài)度。黎曼 zeta 函數(shù)（Riemann zeta function）是數(shù)論中最核心的函數(shù)之一，數(shù)學(xué)家們幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)一直在試圖證明 ζ(3) 的無(wú)理性 —— 這個(gè)數(shù)是輸入為 3 時(shí) zeta 函數(shù)的輸出值。當(dāng)時(shí) 61 歲的阿培里并不被廣泛認(rèn)為是頂尖數(shù)學(xué)家。他有著法國(guó)鄉(xiāng)下人的口音，還有著愛(ài)挑釁的名聲。許多與會(huì)者認(rèn)為阿培里在玩一個(gè)精心策劃的惡作劇，他們準(zhǔn)備以其人之道還治其人之身。正如一位數(shù)學(xué)家后來(lái)回憶的那樣，他們「是來(lái)?yè)v亂的」。

這場(chǎng)演講很快陷入混亂。阿培里幾乎沒(méi)有解釋就一個(gè)接一個(gè)地展示方程，其中一些涉及不可能的運(yùn)算，比如除以零。當(dāng)被問(wèn)及這些公式從何而來(lái)時(shí)，他聲稱：「它們是在我的花園長(zhǎng)出來(lái)的?！箶?shù)學(xué)家們對(duì)他的論斷報(bào)以大笑，在房間里向朋友們喊話，還扔紙飛機(jī)。

但至少有一個(gè)人，即現(xiàn)在波爾多大學(xué)的亨利?科恩（Henri Cohen），從演講中確信阿培里是對(duì)的?？贫髁⒓粗殖鋵?shí)阿培里論證的細(xì)節(jié)；在幾個(gè)月時(shí)間內(nèi)，他與其他幾位數(shù)學(xué)家一起完成了證明。當(dāng)他在后來(lái)的一次會(huì)議上展示他們的結(jié)論時(shí)，一位聽(tīng)眾抱怨道：「這是法國(guó)農(nóng)民的勝利?！?/span>

當(dāng)羅杰?阿培里宣布他已經(jīng)證明了 ζ(3) 的無(wú)理性時(shí)，數(shù)學(xué)家們對(duì)他嗤之以鼻，并向他扔紙飛機(jī)。但事實(shí)證明他是對(duì)的。他在巴黎的墓碑上就刻有這條定理。

數(shù)學(xué)家們雖然不情愿但還是接受了阿培里的證明，他們還預(yù)計(jì)會(huì)出現(xiàn)大量無(wú)理數(shù)的證明結(jié)果。

無(wú)理數(shù)遠(yuǎn)比有理數(shù)多：如果你在數(shù)軸上隨機(jī)選擇一個(gè)點(diǎn)，它幾乎必定是無(wú)理數(shù)。即使數(shù)學(xué)研究中出現(xiàn)的數(shù)字從定義上來(lái)說(shuō)并非隨機(jī)，但數(shù)學(xué)家們?nèi)匀徽J(rèn)為它們中的大多數(shù)應(yīng)該是無(wú)理數(shù)。但是，雖然數(shù)學(xué)家們成功地證明了某些數(shù)的這個(gè)基本事實(shí)，比如 π 和 e，但對(duì)于大多數(shù)其他數(shù)來(lái)說(shuō)，證明仍然極其困難。數(shù)學(xué)家們希望，從 ζ(3) 之外的 zeta 函數(shù)的其他值開(kāi)始，阿培里的技術(shù)可能最終能讓他們?nèi)〉眠M(jìn)展。

荷蘭拉德堡德大學(xué)的 Wadim Zudilin 說(shuō)：「當(dāng)時(shí)每個(gè)人都相信只需一兩年時(shí)間，就能證明每個(gè) zeta 值都是無(wú)理數(shù)。」

但預(yù)期的突破并未出現(xiàn)。沒(méi)有人真正理解阿培里的公式是從哪里來(lái)的，而且當(dāng)「你有一個(gè)如此陌生的證明時(shí)，要泛化、重復(fù)這種魔法并不總是那么容易，」芝加哥大學(xué)的 Frank Calegari 說(shuō)。數(shù)學(xué)家們開(kāi)始把阿培里的證明視為一個(gè)孤立的奇跡。

但現(xiàn)在，Calegari 和另外兩位數(shù)學(xué)家 —— 加州理工學(xué)院的 Vesselin Dimitrov 和加州大學(xué)伯克利分校的唐云清（Yunqing Tang）—— 做到了！他們成功展示了可以如何將阿培里的方法拓展為一個(gè)更強(qiáng)大的方法來(lái)證明數(shù)的無(wú)理性。使用這種方法，他們證明了無(wú)限多個(gè)類似 zeta 的值的無(wú)理性。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2408.15403

巴黎 - 薩克雷大學(xué)的 Jean-Beno?t Bost 稱他們的發(fā)現(xiàn)是「數(shù)論領(lǐng)域的一個(gè)明顯突破」。

數(shù)學(xué)家們興奮的不僅是這些結(jié)果，還有研究者的方法。他們?cè)?2021 年用這種方法解決了一個(gè)已有 50 年歷史的猜想，該猜想與數(shù)論中所謂的模形式（modular forms）有關(guān)。

「也許現(xiàn)在我們已有足夠的工具，可以將這類主題推進(jìn)到比以前認(rèn)為可能的更遠(yuǎn)的地方，」巴黎高等師范學(xué)院的 Fran?ois Charles 說(shuō)。「這是一個(gè)非常令人興奮的時(shí)期?！?/span>

雖然阿培里的證明似乎憑空而來(lái)，甚至一位數(shù)學(xué)家將其稱為「奇跡和神秘的混合」—— 但這篇新論文將他的方法納入了一個(gè)廣泛適用的框架。清晰度大大提升，因此人們不禁想，Calegari、Dimitrov 和唐云清的結(jié)果可以更容易催生進(jìn)一步的成果。

多倫多大學(xué)的 Daniel Litt 說(shuō)：「希望我們很快就會(huì)看到相關(guān)無(wú)理性證明的淘金熱?！?/span>

歐拉錯(cuò)過(guò)的證明

自數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的最早時(shí)期以來(lái)，人們就一直在問(wèn)哪些數(shù)字是有理數(shù)。兩千五百年前，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派堅(jiān)信每個(gè)數(shù)都是兩個(gè)整數(shù)的比值。當(dāng)他們學(xué)派的一名成員證明 2 的平方根不是有理數(shù)時(shí)，他們震驚了。傳說(shuō)作為懲罰，這位冒犯者被淹死了。

2 的平方根只是個(gè)開(kāi)始。特殊的數(shù)從數(shù)學(xué)探究的所有領(lǐng)域不斷涌現(xiàn)。有些數(shù)，比如 π，在你計(jì)算面積和體積時(shí)出現(xiàn)。其他的則與特定函數(shù)相連 —— 例如，e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)?！高@是一個(gè)挑戰(zhàn)：你給自己一個(gè)在數(shù)學(xué)中自然出現(xiàn)的數(shù)，[然后] 你想知道它是否是有理數(shù)，」科恩說(shuō)?！溉绻粋€(gè)數(shù)是有理數(shù)，那它就不是一個(gè)很有趣的數(shù)?！?/span>

Frank Calegari 正在演講。他與另外兩位合作者一起得到的證明可望引發(fā)無(wú)理性證明的淘金熱。

許多數(shù)學(xué)家采用奧卡姆剃刀觀點(diǎn)：除非有令人信服的理由說(shuō)明一個(gè)數(shù)應(yīng)該是有理數(shù)，否則它多半不是。畢竟，數(shù)學(xué)家們?cè)缇椭来蠖鄶?shù)數(shù)都是無(wú)理數(shù)。

然而，幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，具體數(shù)的無(wú)理性的證明卻很少。在 18 世紀(jì)，數(shù)學(xué)巨人萊昂哈德?歐拉證明了 e 是無(wú)理數(shù)，另一位數(shù)學(xué)家約翰?蘭伯特證明了 π 也是無(wú)理數(shù)。歐拉還證明所有偶數(shù) zeta 值 —— 數(shù) ζ(2)、ζ(4)、ζ(6) 等等 —— 等于某個(gè)有理數(shù)乘以 π 的冪，這是證明它們無(wú)理性的第一步。這個(gè)證明最終在 19 世紀(jì)末完成。

但即使在現(xiàn)在，許多簡(jiǎn)單數(shù)的狀態(tài)仍然是個(gè)謎，比如 π + e 或 ζ(5)。

數(shù)學(xué)家們?nèi)栽诠?jiān)如此基本的數(shù)問(wèn)題，這可能看起來(lái)很令人驚訝。但即使有理性是一個(gè)基本概念，研究者目前也只有很少的工具可以證明給定數(shù)是無(wú)理數(shù)。而且這些工具經(jīng)常失效。

當(dāng)數(shù)學(xué)家成功證明一個(gè)數(shù)的無(wú)理性時(shí)，他們的證明核心通常依賴于有理數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)：它們不喜歡彼此靠得太近。例如，假設(shè)你選擇兩個(gè)分?jǐn)?shù)，一個(gè)分母是 7，另一個(gè)分母是 100。要測(cè)量它們之間的距離（用較大的分?jǐn)?shù)中減去較小的分?jǐn)?shù)），你必須重寫你的分?jǐn)?shù)，使它們有相同的分母。在這種情況下，公共分母是 700。所以無(wú)論你從哪兩個(gè)分?jǐn)?shù)開(kāi)始，它們之間的距離都是某個(gè)整數(shù)除以 700—— 這意味著這些分?jǐn)?shù)至少必須相距 1/700。如果你想要更相近的分?jǐn)?shù)，你就必須增大其中一個(gè)分?jǐn)?shù)的原始分母。

將這種推理翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，它就變成了證明無(wú)理性的標(biāo)準(zhǔn)。假設(shè)你有一個(gè)數(shù) k，你想弄清楚它是否是有理數(shù)。也許你注意到 k 和 4/7 之間的距離小于 1/700。這意味著 k 如果有分母，則必不可能是 100 或更小的數(shù)。接下來(lái)，也許你找到一個(gè)新的分?jǐn)?shù)，讓你排除 k 有 1000 或更小分母的可能性 —— 然后另一個(gè)分?jǐn)?shù)排除 10,000 或更小的分母，以此類推。如果你能構(gòu)造一個(gè)無(wú)限序列的分?jǐn)?shù)，逐漸排除 k 的每個(gè)可能的分母，那么 k 就不可能是有理數(shù)。

幾乎每個(gè)無(wú)理性證明都遵循這些思路。但你不能僅僅取任何接近 k 的分?jǐn)?shù)序列 —— 你需要比它們的分母更快接近 k 的分?jǐn)?shù)。這保證了它們排除的分母會(huì)持續(xù)增大。如果你的序列接近 k 的速度不夠快，你只能排除到某個(gè)點(diǎn)的分母，而不是所有可能的分母。

目前還沒(méi)有一種構(gòu)造合適的分?jǐn)?shù)序列的通用方法。有時(shí)候，一個(gè)好的序列會(huì)自然出現(xiàn)。例如，數(shù) e（約為 2.71828）等于以下無(wú)限和：

如果你在任何有限點(diǎn)停止這個(gè)和并加上所有項(xiàng)，你得到的是一個(gè)分?jǐn)?shù)。而且只需要高中數(shù)學(xué)就能證明這個(gè)分?jǐn)?shù)序列接近 e 的速度足夠快，可以排除所有可能的分母。

Vesselin Dimitrov，他與合作者用了多年時(shí)間來(lái)證明 L (2) 的無(wú)理性，最終解決了數(shù)論中一個(gè)重要的、看似不相關(guān)的猜想。

但這個(gè)技巧并不總是有效。如，阿培里的無(wú)理數(shù) ζ(3) 被定義為這個(gè)無(wú)限和：

如果你在每個(gè)有限步驟停止這個(gè)和并加上所有項(xiàng)，得到的分?jǐn)?shù)接近 ζ(3) 的速度不夠快，不能排除 ζ(3) 的每個(gè)可能的分母。ζ(3) 可能是一個(gè)分母比你已經(jīng)排除的更大的有理數(shù)。

阿培里的天才之處在于構(gòu)造了一個(gè)不同的分?jǐn)?shù)序列，這個(gè)序列確實(shí)足夠快地接近 ζ(3)，可以排除每個(gè)分母。他的構(gòu)造使用了可以追溯到幾個(gè)世紀(jì)前的數(shù)學(xué) —— 一篇文章稱之為「歐拉錯(cuò)過(guò)的證明」。但即使在數(shù)學(xué)家理解了他的方法之后，他們也無(wú)法將他的成功擴(kuò)展用于其他相關(guān)的數(shù)。

像每個(gè)無(wú)理性證明一樣，阿培里的結(jié)果立即意味著許多其他數(shù)也是無(wú)理數(shù)，例如，ζ(3) + 3，或 4 × ζ(3)。但數(shù)學(xué)家們對(duì)這種免費(fèi)得到的結(jié)果不會(huì)太興奮。他們真正想要的是證明「重要」的數(shù)是無(wú)理數(shù) —— 那些「在一個(gè)公式中出現(xiàn)，[然后] 在另一個(gè)公式中出現(xiàn)，也在數(shù)學(xué)的不同部分出現(xiàn)」的數(shù)，Zudilin 說(shuō)。

黎曼 zeta 函數(shù)和相關(guān)的 L - 函數(shù)的值非常滿足這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，很少有數(shù)能比它們更加滿足。黎曼 zeta 函數(shù) ζ(x) 會(huì)將一個(gè)數(shù) x 轉(zhuǎn)換為這個(gè)無(wú)限和：

舉個(gè)例子，ζ(3) 就是當(dāng)你代入 x = 3 時(shí)得到的無(wú)限和。長(zhǎng)期以來(lái)，很多人都認(rèn)為 zeta 函數(shù)支配著素?cái)?shù)的分布。同時(shí)，L - 函數(shù) —— 它們像 zeta 函數(shù)但有不同的分子 —— 支配著更復(fù)雜數(shù)系中素?cái)?shù)的分布。在過(guò)去 50 年里，L - 函數(shù)在數(shù)論中因其在朗蘭茲綱領(lǐng)中的關(guān)鍵作用而變得特別突出，朗蘭茲綱領(lǐng)是構(gòu)建數(shù)學(xué)「大統(tǒng)一理論」的雄心勃勃的努力。但它們也出現(xiàn)在數(shù)學(xué)中其它完全不同的領(lǐng)域。例如，取一個(gè)分子遵循 1, -1, 0, 1, -1, 0 重復(fù)模式的 L - 函數(shù)，會(huì)得到：

這個(gè)函數(shù)（下面我們將其寫成 L (x)）除了在數(shù)論中大有作用，在幾何學(xué)中也會(huì)意外地出現(xiàn)。例如，如果你將 L (2) 乘以一個(gè)簡(jiǎn)單的因子，會(huì)得到具有「雙曲」幾何（馬鞍形狀的彎曲幾何）的最大正四面體的體積。

數(shù)學(xué)家們至少研究了 L (2) 兩個(gè)世紀(jì)。多年來(lái)，他們想出了七八種不同的方法用有理數(shù)序列來(lái)逼近它。但這些序列都不能足夠快地接近它，不足以證明它是無(wú)理數(shù)。

研究者似乎陷入了僵局 —— 直到 Calegari、Dimitrov 和唐云清決定將其作為他們新的無(wú)理性方法的核心。

黎曼錯(cuò)過(guò)的證明

在無(wú)理性證明中，你希望你的分?jǐn)?shù)序列排除越來(lái)越大的分母。數(shù)學(xué)家們有一個(gè)備受喜愛(ài)的策略來(lái)理解這樣的序列：他們會(huì)將其打包成一個(gè)函數(shù)。通過(guò)研究這個(gè)函數(shù)，他們獲得了一系列工具，包括所有微積分的技術(shù)。

在這種情況下，數(shù)學(xué)家會(huì)構(gòu)造一個(gè)「冪級(jí)數(shù)」—— 一個(gè)具有無(wú)限多項(xiàng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，比如 3 + 2x + 7x2 + 4x3 + …—— 其中每個(gè)系數(shù)都是通過(guò)將你研究的數(shù)與序列中的一個(gè)分?jǐn)?shù)按照特定公式組合而確定的。第一個(gè)系數(shù)最終捕捉到第一個(gè)分?jǐn)?shù)排除的分母的大?。坏诙€(gè)系數(shù)捕捉到第二個(gè)分?jǐn)?shù)排除的分母的大?。灰来祟愅?。

粗略地說(shuō)，系數(shù)和被排除的分母有一個(gè)反比關(guān)系，這意味著你的目標(biāo) —— 證明被排除的分母趨向于無(wú)窮 —— 等價(jià)于證明系數(shù)趨向于零。

這種重新打包的優(yōu)勢(shì)在于你可以嘗試使用整個(gè)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)來(lái)控制系數(shù)。在這種情況下，你想研究哪些 x 值會(huì)使冪級(jí)數(shù)「爆炸」到無(wú)窮。冪級(jí)數(shù)中的項(xiàng)涉及 x 的越來(lái)越高的冪，所以除非它們與極小的系數(shù)配對(duì)，否則大的 x 值會(huì)使冪級(jí)數(shù)爆炸。因此，如果你能證明冪級(jí)數(shù)即使在大的 x 值下也不會(huì)爆炸，這就告訴你系數(shù)確實(shí)會(huì)收縮到零，正如你想要的那樣。

為了引入特別豐富的工具集來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)家考慮 x 的「復(fù)數(shù)」值。復(fù)數(shù)結(jié)合了實(shí)部和虛部，可以表示為二維平面中的點(diǎn)。

想象在復(fù)數(shù)平面中從零點(diǎn)開(kāi)始，膨脹一個(gè)圓盤，直到你碰到第一個(gè)使你的冪級(jí)數(shù)爆炸到無(wú)窮的復(fù)數(shù) —— 數(shù)學(xué)家稱之為奇點(diǎn)。如果這個(gè)圓盤的半徑足夠大，你可以推斷冪級(jí)數(shù)的系數(shù)足夠快地收縮到零，從而推出你的數(shù)是無(wú)理數(shù)。

阿培里的證明和許多其他無(wú)理性結(jié)果可以用這些術(shù)語(yǔ)重新表述，盡管它們最初并非如此寫成。但對(duì)于 L (2) 來(lái)說(shuō)，圓盤太小了。對(duì)這個(gè)數(shù)字，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為冪級(jí)數(shù)方法是死路一條。

但 Calegari、Dimitrov 和唐云清看到了一個(gè)潛在的突破口。奇點(diǎn)并不總是代表最終的停止點(diǎn) —— 這取決于當(dāng)你碰到奇點(diǎn)時(shí)情況如何。有時(shí)圓盤的邊界會(huì)碰到一堆奇點(diǎn)。如果發(fā)生這種情況，你就倒霉了。但其他時(shí)候，邊界上可能只有幾個(gè)孤立的奇點(diǎn)。在這些情況下，你可能能夠?qū)⒛愕膱A盤膨脹到復(fù)平面的更大區(qū)域，避開(kāi)這些奇點(diǎn)。

這就是 Calegari、Dimitrov 和唐云清希望做的。他們想，這個(gè)更大區(qū)域中包含的額外信息可能使他們能夠?qū)缂?jí)數(shù)的系數(shù)進(jìn)行所需的控制。一些冪級(jí)數(shù)，Calegari 說(shuō)，可以在「圓盤之外過(guò)著美好的生活」。

在四年的時(shí)間里，這幾位數(shù)學(xué)家弄清楚了如何使用這種方法來(lái)證明 L (2) 是無(wú)理數(shù)?！杆麄冮_(kāi)發(fā)了一個(gè)全新的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)決定一個(gè)給定的數(shù)字是否是無(wú)理數(shù)，」Zudilin 說(shuō)。「這真是令人驚嘆。」

與阿培里的證明一樣，新方法是對(duì)早期方法的重新利用，嚴(yán)重依賴對(duì) 19 世紀(jì)的微積分的泛化。Bost 甚至稱新工作為「黎曼錯(cuò)過(guò)的證明」。這里的黎曼指的是伯恩哈德?黎曼，他是 19 世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，黎曼 zeta 函數(shù)就是以他的名字命名的。黎曼留給后人的難題之一就是著名的黎曼猜想。

黎曼

新的證明并不止于 L (2)。我們將 ζ(2) 的分子中的 1 替換成三個(gè)重復(fù)的數(shù)：1, -1, 0, 1, -1, 0 等等。你可以用三個(gè)重復(fù)的分子制作無(wú)限多個(gè)其他 ζ(2) 變體 —— 例如，重復(fù)模式 1, 4, 10, 1, 4, 10…，產(chǎn)生無(wú)限的和：

研究人員證明，每個(gè)這樣的和都是無(wú)理數(shù)（前提是它不加到零）。他們還使用他們的方法證明了一組完全不同的數(shù)的無(wú)理性，這些數(shù)由對(duì)數(shù)的乘積構(gòu)成。Bost 說(shuō)，這樣的數(shù)之前是「完全無(wú)法觸及的」。

研究人員預(yù)計(jì)，具有四個(gè)數(shù)字重復(fù)模式的 ζ(2) 變體可能是下一個(gè)。他們把希望寄托在證明「卡塔蘭常數(shù) (Catalan's Constant)」的無(wú)理性上 —— 這是一個(gè)具有重復(fù)模式 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0… 的變體，已經(jīng)被研究了 150 多年。

「卡塔蘭已經(jīng)很接近了，」科恩說(shuō)。

團(tuán)隊(duì)迄今為止取得的結(jié)果「證明了他們的方法能夠走得很遠(yuǎn)，比我們幾年前預(yù)期的要遠(yuǎn)得多，」Charles 說(shuō)?！高@絕對(duì)不是故事的結(jié)束?！?/span>

在經(jīng)過(guò)這么多年的迷霧探索之后，數(shù)學(xué)家們終于開(kāi)始清晰地在數(shù)軸這個(gè)最基本的景觀上辨認(rèn)出一系列地標(biāo)。