「千禧年七大數(shù)學(xué)難題」之一——黎曼猜想（Riemann hypothesis，RH）取得了顯著突破，數(shù)學(xué)家們距離摘取「猜想界的皇冠」又近了一步！

MIT對黎曼猜想的潛在例外情況，提出了更加嚴(yán)格的限制，此舉直接打破了80多年的紀(jì)錄。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2405.20552

如今，黎曼猜想依舊是數(shù)學(xué)中最重要的未解之謎之一。如果能夠證明它，數(shù)學(xué)家將對素數(shù)的分布有更深刻的理解，

并且，很多數(shù)論和復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域的工作都基于黎曼猜想為真這個前提，因此一旦證明了黎曼猜想，許多其他工作也會得到完整的證明。

解決黎曼猜想的人，將會獲得克雷數(shù)學(xué)研究所提供的100萬美元獎勵。

目前，對于如何證明黎曼猜想，數(shù)學(xué)家們還無從下手，不過他們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^證明可能的例外數(shù)量有限，來獲得有用的結(jié)果。

在今年5月，Maynard和MIT的Larry Guth確定了一種特定類型例外數(shù)量的新上限，打破了此前80多年的紀(jì)錄。

憑借新的證明，他們得到了數(shù)軸上短區(qū)間內(nèi)素數(shù)數(shù)量的一個更好的近似值，并且有望提供更多關(guān)于素數(shù)行文的見解。

離完全解決黎曼猜想還遠(yuǎn)，但仍然是歷史性的時刻

羅格斯大學(xué)的Henryk Iwaniec對此評論道：「這是一個轟動性的結(jié)果，這個過程非常非常難，但他們摘下了寶石?！?/span>

陶哲軒對這篇論文大加贊賞：

Guth和Maynard對黎曼假設(shè)有了顯著的突破，對1940年關(guān)于黎曼zeta函數(shù)零點的經(jīng)典Ingham界限進行了第一次實質(zhì)性改進（更廣泛地說，控制各種狄利克雷級數(shù)的大值）。

他認(rèn)為這是歷史性的時刻，「在黎曼猜想存在之后的八十年里，對這一約束的唯一推動就是對??(1)誤差的微小改進」。

盡管他也承認(rèn)，「離完全解決這個猜想還很遠(yuǎn)」。

要知道，早在2008年，美國楊百翰大學(xué)的數(shù)學(xué)家Xian-Jin Li也曾在arxiv上發(fā)表過一篇論文，宣稱證明了黎曼猜想。后被陶哲軒和法國數(shù)學(xué)家Alain Connes（均為菲爾茲獎得主）無情地指出了Li證明過程中的錯誤。

那么，這次Guth和Maynard的研究能得到陶哲軒的轉(zhuǎn)發(fā)，可見其意義非凡了。

巧妙的迂回

黎曼猜想涉及數(shù)論中的一個核心公式——黎曼ζ函數(shù)。ζ函數(shù)是簡單求和的推廣形式：

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ?

這個級數(shù)隨著項數(shù)的增加會變得無限大，這個過程被數(shù)學(xué)家稱之為「發(fā)散」。但如果改為求和：

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ? = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ?

我們就會得到π^2/6，大約等于1.64。

而黎曼做出了一個出人意料的偉大構(gòu)想，將這樣的級數(shù)變成一個如下所示的函數(shù)：

所以 ζ(1) 是無窮大，但 ζ(2) = π^2/6。

當(dāng)我們將s設(shè)為一個復(fù)數(shù)時，事情變得非常有趣。

復(fù)數(shù)有兩個部分：「實部」，即日常生活中的數(shù)字，以及「虛部」，即日常數(shù)字乘以-1的平方根（數(shù)學(xué)家將其記作i）。

復(fù)數(shù)可以在平面上繪制，實部在x軸上，虛部在y軸上。例如，3 + 4i。

ζ函數(shù)以復(fù)平面上的點作為輸入，并輸出其他復(fù)數(shù)。

事實證明，對于某些復(fù)數(shù)，ζ函數(shù)的值為零。確定這些零點在復(fù)平面上的具體位置，是數(shù)學(xué)中最有趣的問題之一。

1859年，黎曼猜測：所有的零點都集中在兩條線上。如果我們擴展ζ函數(shù)，使其可以處理負(fù)數(shù)輸入，我們就會發(fā)現(xiàn)對于所有負(fù)偶數(shù)：-2, -4, -6等等，ζ函數(shù)的值為零。

這相對容易證明，因此這些被稱為平凡零點。

當(dāng)s的實部小于1時，整個級數(shù)和可能會發(fā)散。為了讓函數(shù)適用于更廣的范圍，黎曼把上面的ζ函數(shù)改寫成以上形式

Riemann猜測該函數(shù)的所有其他零點（也即非平凡零點）的實部都為1/2，因此位于這條垂直線上。

這是黎曼猜想，證明它一直極其困難。

數(shù)學(xué)家們知道，每個非平凡零點的實部必須在零和1之間，但他們無法排除有些零點的實部可能是0.499。

他們能做的是，就是證明這樣的零點必須非常罕見。

更直觀地說，根據(jù)ζ函數(shù)能夠畫出無窮多個點。黎曼猜測，這些點有一定的排列規(guī)律，一部分在一條橫線上，另一部分則在一條豎線上，所有這些點都在這兩條直線上排列，無一例外

在上圖中，由于有無窮多個點，所以不能用枚舉法證明所有的點都在這兩條線上，因為永遠(yuǎn)也驗證不完。但只要有一個點不在這兩條直線上，那就能推翻黎曼猜想。

數(shù)學(xué)家們已經(jīng)使用計算機驗證了最初的1億億個點，全都符合黎曼猜想的排列規(guī)律。

許多年來，許多數(shù)學(xué)家為了證明這個猜想前赴后繼，但無一人能夠捧回這個「數(shù)學(xué)界的圣杯」，甚至不乏有數(shù)學(xué)家為此而抱憾離世，將無盡的思考留給了后人。

美國數(shù)學(xué)家Hugh Montgomery甚至表示，如果有魔鬼答應(yīng)讓數(shù)學(xué)家們用自己的靈魂來換取一個數(shù)學(xué)命題的證明，大多數(shù)學(xué)家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。

80多年的紀(jì)錄，忽然被打破了

1940年，一位名叫Albert Ingham的英國數(shù)學(xué)家建立了一個上限，用于估計實部不等于1/2的零點數(shù)量，這個上限，至今仍被數(shù)學(xué)家們用作參考點。

幾十年后，在1960年代和70年代，其他數(shù)學(xué)家找到了將Ingham的結(jié)果轉(zhuǎn)換為關(guān)于素數(shù)在數(shù)軸上如何聚集或分散，以及它們可能形成的其他模式的描述方法。

大約在同一時間，數(shù)學(xué)家們還引入了新的技術(shù)，改進了Ingham對實部大于3/4的零點的上限。

但事實證明，最重要的零點，就是那些實部正好為3/4的零點。

「許多關(guān)于素數(shù)的重要結(jié)果，都受限于我們對實部為3/4的零點的理解，」Maynard說。

James Maynard是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的杰出學(xué)者，曾于2022年獲得菲爾茲獎。

他本科畢業(yè)于劍橋大學(xué)，博士畢業(yè)于牛津大學(xué)，從2018年起任教于牛津大學(xué)數(shù)學(xué)研究所。

大約十年前，Maynard就開始思考，如何改進Ingham對這些特定零點的估計?！高@是我在解析數(shù)論中最喜歡的問題之一?？傆X得只要再努力一點，就能取得進展。」

但年復(fù)一年，每當(dāng)他想要解決這個問題，總會被卡住。

然后，在2020年初，在飛往科羅拉多參加會議的飛機上，他突然有了一個想法——或許調(diào)和分析中的工具可能會有用。

巧的是，MIT的一位調(diào)和分析專家Larry Guth，恰好也參加了同一個會議。

碰巧在思考類似問題的兩個人，就這樣相遇了。

不過，Guth對解析數(shù)論完全不熟悉。在午餐時間，Maynard向他解釋了數(shù)論方面的內(nèi)容，還給了他一個具體的測試案例。

斷斷續(xù)續(xù)研究了幾年后，Guth才意識到，他的調(diào)和分析技術(shù)行不通。

但他并沒有停止思考這個問題，而是嘗試了新的方法。

今年二月份，他再次聯(lián)系了Maynard。結(jié)合不同的視角，兩人開始認(rèn)真合作。

幾個月后，他們得出了結(jié)果。

數(shù)學(xué)中的「棄子」

Guth和Maynard首先將他們想要解決的問題轉(zhuǎn)換成另一種形式。

如果某個零點的實部不是1/2，那么被稱為狄利克雷多項式的相關(guān)函數(shù)，必須產(chǎn)生一個非常大的值。

因此，證明黎曼猜想的例外很少等同于證明狄利克雷多項式不會經(jīng)常產(chǎn)生很大的值。

然后，數(shù)學(xué)家們進行了另一種轉(zhuǎn)換。

首先，他們使用狄利克雷多項式構(gòu)建了一個矩陣，或者說一個數(shù)字表。

「數(shù)學(xué)家們喜歡看到矩陣，因為矩陣是我們非常了解的東西，」Guth說?！改阋獙W(xué)會保持敏銳的嗅覺，準(zhǔn)備好看到矩陣無處不在?！?/span>

矩陣可以「作用于」一個叫做向量的數(shù)學(xué)對象，向量由長度和方向定義，從而產(chǎn)生另一個向量。

通常情況下，當(dāng)矩陣作用于向量時，會改變向量的長度和方向。

有時會有一些特殊的向量，當(dāng)它們經(jīng)過矩陣時，只改變長度而不改變方向。這些向量稱為特征向量。

數(shù)學(xué)家們用稱為特征值的數(shù)字，來衡量這些變化的大小。

Guth和Maynard重新表述了他們的問題，使其變成了關(guān)于矩陣最大特征值的問題。

如果他們能證明最大特征值不能變得太大，他們的工作就完成了。

為此，他們使用了一個公式，得到了一個復(fù)雜的總和，并尋找方法使總和中的正負(fù)值盡可能地相互抵消。

「你必須重新排列序列，或者從正確的角度看它，以看到某種對稱性，從而實現(xiàn)一些抵消，」Guth說。

這個過程涉及幾個令人驚訝的步驟，其中一個最重要的想法，被Maynard形容為「有點神奇」。

在某個時刻，他們本應(yīng)采取一個看似顯而易見的簡化步驟，來簡化他們的總和。

然而他們并沒有這樣做。反之，他們把總和保留在更長、更復(fù)雜的形式。

「我們做了一些乍一看完全愚蠢的事情，我們就是拒絕做標(biāo)準(zhǔn)的簡化，」Maynard說?！肝覀兎艞壛撕芏?，這意味著現(xiàn)在我們不能為這個總和得到任何簡單的界限?！?/span>

但從長遠(yuǎn)來看，這證明是一個有利的舉動。

「在國際象棋中，這被稱之為棄子——為了在棋盤上獲得更好的位置而去犧牲一枚棋子，」Maynard說。

而Guth將其比作玩魔方：有時你必須撤銷之前的動作，使一切看起來更糟，然后找到一種方法，讓更多的顏色到達(dá)正確的位置。

「我們需要極大的勇氣，才能拋棄一個顯而易見的改進，然后希望自己能在之后恢復(fù)它，」牛津大學(xué)的數(shù)學(xué)家、Maynard的前導(dǎo)師Roger Heath-Brown說?！高@與我認(rèn)為應(yīng)該做的一切背道而馳。」

但這位導(dǎo)師承認(rèn)，這恰恰是自己卡住的地方。

Maynard說，Guth作為一個調(diào)和分析專家而不是數(shù)論學(xué)家，使得這一策略成為可能?！杆麤]有被這些固有的規(guī)則所禁錮，所以他更愿意考慮那些不合常規(guī)的事情?！?/span>

最終，他們能夠?qū)ψ畲筇卣髦翟O(shè)定一個足夠好的界限，這又進一步轉(zhuǎn)化為對黎曼猜想潛在反例數(shù)量的更精確界限。

盡管他們的工作始于啟發(fā)了Guth的調(diào)和分析思想，但他們最終卻將這些復(fù)雜技術(shù)排除在外，返璞歸真。

「現(xiàn)在看起來，這就像是我40年前可能會嘗試的事情，」Heath-Brown說。

最終，通過給出對實部為3/4的零點數(shù)量的更好界限，Guth和Maynard自動證明了一些關(guān)于素數(shù)分布的結(jié)果。

例如，對于較短區(qū)間，估計在給定區(qū)間內(nèi)找到的素數(shù)數(shù)量會變得不那么準(zhǔn)確。而新的工作，能使數(shù)學(xué)家們在更短的區(qū)間內(nèi)得到良好的估計。

數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，這個證明還可能改進其他關(guān)于素數(shù)的結(jié)論。

并且，Guth和Maynard的技術(shù)似乎還有余地進一步改進。

不過Maynard認(rèn)為，這些技術(shù)不是解決黎曼猜想本身的正確方法。

「它還需要來自其他地方的一些重大想法?！?/span>

陶哲軒解讀：利用解析數(shù)論意想不到的方式

對于這個「棄子」的方法，陶哲軒也給出了更專業(yè)的解讀——

如果令??(σ,??)表示實部至少為σ、虛部至多為??的黎曼zeta函數(shù)的零點數(shù)量，黎曼猜想告訴我們，對于任何σ>1/2，??(σ,??)都會消失，當(dāng)然我們不能無條件地證明這一點。

但下一步，我們可以證明零密度估計，也就是??(σ,??)的非平凡上界。

事實證明，σ=3/4 是一個關(guān)鍵值。1940年，Ingham得出了一個結(jié)果——??(3/4,??)???^{3/5+??(1)}。

在接下來的八十年里，對該界限的唯一改進是對??(1)誤差的小幅改進。

這限制了我們在解析數(shù)論中做很多事情：例如，為了在(??,??+??^??)形式的幾乎所有短區(qū)間內(nèi)得到一個好的素數(shù)定理，我們長期以來一直被限制在??>1/6 ，主要障礙是Ingham界限缺乏改進。

Guth和Maynard的最新研究成功改進了Ingham界限，從3/5=0.6降低到13/25=0.52。

這帶來了解析數(shù)論的許多相應(yīng)改進；例如，在幾乎所有短區(qū)間內(nèi)，可以證明的素數(shù)定理的范圍從??>1/6=0.166… 變?yōu)??>2/15=0.133…（如果黎曼猜想為真，將意味著我們可以覆蓋整個??>0的范圍）。

這些論證本質(zhì)上主要基于傅立葉分析。前幾步是標(biāo)準(zhǔn)步驟，許多試圖打破Ingham界限的分析數(shù)論學(xué)家都能認(rèn)出這些步驟。

但他們有許多巧妙且出乎意料的操作，比如，通過將關(guān)鍵的相位矩陣??^{????}=??^{????log???}提升到六次方來控制它（表面上看，這使問題變得更加復(fù)雜且棘手）。

以及，拒絕使用駐相法來簡化某個復(fù)雜的傅里葉積分，從而在指數(shù)上讓步，以保留一種最終證明比駐相近似更有用的因式分解形式；并根據(jù)Dirichlet級數(shù)大值出現(xiàn)的位置是否具有小、中或大的加法能量來劃分情況，并對每種情況采用稍微不同的論證方法。

在這里，隱含在Dirichlet級數(shù)中的相位函數(shù)??log???的精確形式變得非常重要；這是利用解析數(shù)論中出現(xiàn)的特殊指數(shù)和的一種意想不到的方式，而不是在調(diào)和分析中可能遇到的更一般的指數(shù)和。